Основы мат. анализа Примеры

${(1 + y)}^{2} - (1 + y) y - y^{2} + 1 = 0$

Этап 1

Упростим ${(1 + y)}^{2} - (1 + y) y - y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(1 + y)}^{2} + (- 1 \cdot 1 - y) y - y^{2} + 1 = 0$

Этап 1.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

${(1 + y)}^{2} + (- 1 - y) y - y^{2} + 1 = 0$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(1 + y)}^{2} - 1 y - y \cdot y - y^{2} + 1 = 0$

Этап 1.1.4

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

${(1 + y)}^{2} - y - y \cdot y - y^{2} + 1 = 0$

Этап 1.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Перенесем $y$ .

${(1 + y)}^{2} - y - (y \cdot y) - y^{2} + 1 = 0$

Этап 1.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

${(1 + y)}^{2} - y - y^{2} - y^{2} + 1 = 0$

Этап 1.2

Вычтем $y^{2}$ из $- y^{2}$ .

${(1 + y)}^{2} - y - 2 y^{2} + 1 = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перегруппируем члены.

${(1 + y)}^{2} - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Этап 2.2

Перепишем ${(1 + y)}^{2}$ в виде $(1 + y) (1 + y)$ .

$(1 + y) (1 + y) - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Этап 2.3

Развернем $(1 + y) (1 + y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (1 + y) + y (1 + y) - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 y + y (1 + y) - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Этап 2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Этап 2.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Этап 2.4.1.2

Умножим $y$ на $1$ .

$1 + y + y \cdot 1 + y \cdot y - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Этап 2.4.1.3

Умножим $y$ на $1$ .

$1 + y + y + y \cdot y - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Этап 2.4.1.4

Умножим $y$ на $y$ .

$1 + y + y + y^{2} - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $y$ и $y$ .

$1 + 2 y + y^{2} - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Этап 2.5

Вычтем $2 y^{2}$ из $y^{2}$ .

$1 + 2 y - y^{2} - y + 1 = 0$

Этап 2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $1 + 2 y - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Перенесем $1$ .

$2 y - y^{2} + 1 - y + 1 = 0$

Этап 2.6.1.2

Изменим порядок $2 y$ и $- y^{2}$ .

$- y^{2} + 2 y + 1 - y + 1 = 0$

Этап 2.6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{2}$ .

$- (y^{2}) + 2 y + 1 - y + 1 = 0$

Этап 2.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $2 y$ .

$- (y^{2}) - (- 2 y) + 1 - y + 1 = 0$

Этап 2.6.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- (y^{2}) - (- 2 y) - 1 \cdot - 1 - y + 1 = 0$

Этап 2.6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{2}) - (- 2 y)$ .

$- (y^{2} - 2 y) - 1 \cdot - 1 - y + 1 = 0$

Этап 2.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{2} - 2 y) - 1 (- 1)$ .

$- (y^{2} - 2 y - 1) - y + 1 = 0$

Этап 2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$- (y^{2} - 2 y - 1) - (y) + 1 = 0$

Этап 2.7.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- (y^{2} - 2 y - 1) - (y) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 2.7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - 1 (- 1)$ .

$- (y^{2} - 2 y - 1) - (y - 1) = 0$

Этап 2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{2} - 2 y - 1) - (y - 1)$ .

$- (y^{2} - 2 y - 1 + y - 1) = 0$

Этап 2.9

Добавим $- 2 y$ и $y$ .

$- (y^{2} - y - 1 - 1) = 0$

Этап 2.10

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$- (y^{2} - y - 2) = 0$

Этап 2.11

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Разложим $y^{2} - y - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 2.11.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((y - 2) (y + 1)) = 0$

Этап 2.11.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (y - 2) (y + 1) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 2 = 0$

$y + 1 = 0$

Этап 4

Приравняем $y - 2$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $y - 2$ к $0$ .

$y - 2 = 0$

Этап 4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = 2$

Этап 5

Приравняем $y + 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $y + 1$ к $0$ .

$y + 1 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = - 1$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (y - 2) (y + 1) = 0$ верно.

$y = 2, - 1$