Основы мат. анализа Примеры

$2 y^{2} - 15 x - 4 y - 28 = 0$

Этап 1

Изолируем $x$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $2 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 15 x - 4 y - 28 = - 2 y^{2}$

Этап 1.1.2

Добавим $4 y$ к обеим частям уравнения.

$- 15 x - 28 = - 2 y^{2} + 4 y$

Этап 1.1.3

Добавим $28$ к обеим частям уравнения.

$- 15 x = - 2 y^{2} + 4 y + 28$

Этап 1.2

Разделим каждый член $- 15 x = - 2 y^{2} + 4 y + 28$ на $- 15$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $- 15 x = - 2 y^{2} + 4 y + 28$ на $- 15$ .

$\frac{- 15 x}{- 15} = \frac{- 2 y^{2}}{- 15} + \frac{4 y}{- 15} + \frac{28}{- 15}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 15 x}{- 15} = \frac{- 2 y^{2}}{- 15} + \frac{4 y}{- 15} + \frac{28}{- 15}$

Этап 1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 y^{2}}{- 15} + \frac{4 y}{- 15} + \frac{28}{- 15}$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{2 y^{2}}{15} + \frac{4 y}{- 15} + \frac{28}{- 15}$

Этап 1.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = \frac{2 y^{2}}{15} - \frac{4 y}{15} + \frac{28}{- 15}$

Этап 1.2.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = \frac{2 y^{2}}{15} - \frac{4 y}{15} - \frac{28}{15}$

Этап 2

Составим полный квадрат для $\frac{2 y^{2}}{15} - \frac{4 y}{15} - \frac{28}{15}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{2}{15}$

$b = - \frac{4}{15}$

$c = - \frac{28}{15}$

Этап 2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{4}{15}}{2 (\frac{2}{15})}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = - \frac{4}{15} \cdot \frac{1}{2 (\frac{2}{15})}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{15}$ в числитель.

$d = \frac{- 4}{15} \cdot \frac{1}{2 (\frac{2}{15})}$

Этап 2.3.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$d = \frac{2 (- 2)}{15} \cdot \frac{1}{2 (\frac{2}{15})}$

Этап 2.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{15} \cdot \frac{1}{2 (\frac{2}{15})}$

Этап 2.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{15} \cdot \frac{1}{\frac{2}{15}}$

Этап 2.3.2.3

Умножим $\frac{- 2}{15}$ на $\frac{1}{\frac{2}{15}}$ .

$d = \frac{- 2}{15 (\frac{2}{15})}$

Этап 2.3.2.4

Объединим $15$ и $\frac{2}{15}$ .

$d = \frac{- 2}{\frac{15 \cdot 2}{15}}$

Этап 2.3.2.5

Умножим $15$ на $2$ .

$d = \frac{- 2}{\frac{30}{15}}$

Этап 2.3.2.6

Сократим общий множитель $30$ и $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.6.1

Вынесем множитель $15$ из $30$ .

$d = \frac{- 2}{\frac{15 \cdot 2}{15}}$

Этап 2.3.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.6.2.1

Вынесем множитель $15$ из $15$ .

$d = \frac{- 2}{\frac{15 \cdot 2}{15 (1)}}$

Этап 2.3.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{- 2}{\frac{15 \cdot 2}{15 \cdot 1}}$

Этап 2.3.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{\frac{2}{1}}$

Этап 2.3.2.6.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$d = \frac{- 2}{2}$

Этап 2.3.2.7

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Этап 2.3.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Этап 2.3.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 2.3.2.7.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{{(- \frac{4}{15})}^{2}}{4 (\frac{2}{15})}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{4}{15}$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{4}{15})}^{2}}{4 (\frac{2}{15})}$

Этап 2.4.2.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{1 {(\frac{4}{15})}^{2}}{4 (\frac{2}{15})}$

Этап 2.4.2.1.1.3

Применим правило умножения к $\frac{4}{15}$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{1 \frac{4^{2}}{15^{2}}}{4 (\frac{2}{15})}$

Этап 2.4.2.1.1.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{1 \frac{16}{15^{2}}}{4 (\frac{2}{15})}$

Этап 2.4.2.1.1.5

Возведем $15$ в степень $2$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{1 (\frac{16}{225})}{4 (\frac{2}{15})}$

Этап 2.4.2.1.1.6

Умножим $\frac{16}{225}$ на $1$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{\frac{16}{225}}{4 (\frac{2}{15})}$

Этап 2.4.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{2}{15}$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{\frac{16}{225}}{\frac{4 \cdot 2}{15}}$

Этап 2.4.2.1.3

Умножим $4$ на $2$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{\frac{16}{225}}{\frac{8}{15}}$

Этап 2.4.2.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{16}{225} \cdot \frac{15}{8})$

Этап 2.4.2.1.5

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.5.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{8 (2)}{225} \cdot \frac{15}{8})$

Этап 2.4.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{8 \cdot 2}{225} \cdot \frac{15}{8})$

Этап 2.4.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{2}{225} \cdot 15)$

Этап 2.4.2.1.6

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.6.1

Вынесем множитель $15$ из $225$ .

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{2}{15 (15)} \cdot 15)$

Этап 2.4.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{2}{15 \cdot 15} \cdot 15)$

Этап 2.4.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$e = - \frac{28}{15} - \frac{2}{15}$

Этап 2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{- 28 - 2}{15}$

Этап 2.4.2.3

Вычтем $2$ из $- 28$ .

$e = \frac{- 30}{15}$

Этап 2.4.2.4

Разделим $- 30$ на $15$ .

$e = - 2$

Этап 2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{2}{15} {(y - 1)}^{2} - 2$ .

$\frac{2}{15} {(y - 1)}^{2} - 2$

Этап 3

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = \frac{2}{15} \cdot {(y - 1)}^{2} - 2$