Основы мат. анализа Примеры

$\frac{7 x^{2} - x - 16}{x (x + 1) (x - 1)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Этап 1.2

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(7 x^{2} - x - 16) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(7 x^{2} - x - 16) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(7 x^{2} - x - 16) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(7 x^{2} - x - 16) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(7 x^{2} - x - 16) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(7 x^{2} - x - 16) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.6.2

Разделим $7 x^{2} - x - 16$ на $1$ .

$7 x^{2} - x - 16 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$7 x^{2} - x - 16 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.1.2

Разделим $A ((x + 1) (x - 1))$ на $1$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A ((x + 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.2

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{2} - x - 16 = A (x (x - 1) + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{2} - x - 16 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{2} - x - 16 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.3.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A (x^{2} - x + x - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.3.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A (x^{2} + 0 - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.3.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A (x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.5

Перенесем $- 1$ влево от $A$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.6

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.7

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.7.1

Сократим общий множитель.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + \frac{B (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.7.2

Разделим $(B) (x (x - 1))$ на $1$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + (B) (x (x - 1)) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.8

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.9

Умножим $x$ на $x$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.10

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.11

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.12

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.13

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.14

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.14.1

Сократим общий множитель.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 1.7.14.2

Разделим $(C) (x (x + 1))$ на $1$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + (C) (x (x + 1))$

Этап 1.7.15

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

Этап 1.7.16

Умножим $x$ на $x$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

Этап 1.7.17

Умножим $x$ на $1$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x)$

Этап 1.7.18

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C x^{2} + C x$

Этап 1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Перенесем $B$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} - A + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x$

Этап 1.8.2

Перенесем $- A$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x - A$

Этап 1.8.3

Перенесем $- x B$ .

$7 x^{2} - x - 16 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - x B + C x - A$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$7 = A + B + C$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 1 = - 1 B + C$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 16 = - 1 A$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$- 16 = - 1 A$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$- 16 = - 1 A$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $- 16 = - 1 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 A = - 16$ .

$- 1 A = - 16$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $- 1 A = - 16$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $- 1 A = - 16$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{A}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

Этап 3.1.2.2.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{- 16}{- 1}$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = \frac{- 16}{- 1}$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Разделим $- 16$ на $- 1$ .

$A = 16$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = 16$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = 16$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = 16$

$7 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $16$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $7 = A + B + C$ на $16$ .

$7 = (16) + B + C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$7 = 16 + B + C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

$7 = 16 + B + C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

$7 = 16 + B + C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $7 = 16 + B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $16 + B + C = 7$ .

$16 + B + C = 7$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$B + C = 7 - 16$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$B = 7 - 16 - C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

Этап 3.3.2.3

Вычтем $16$ из $7$ .

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = - 1 B + C$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- 9 - C$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $- 1 = - 1 B + C$ на $- 9 - C$ .

$- 1 = - 1 (- 9 - C) + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $- 1 (- 9 - C) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 = - 1 \cdot - 9 - 1 (- C) + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Этап 3.4.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$- 1 = 9 - 1 (- C) + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Этап 3.4.2.1.1.3

Умножим $- 1 (- C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 1 = 9 + 1 C + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Этап 3.4.2.1.1.3.2

Умножим $C$ на $1$ .

$- 1 = 9 + C + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = 9 + C + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = 9 + C + C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Этап 3.4.2.1.2

Добавим $C$ и $C$ .

$- 1 = 9 + 2 C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = 9 + 2 C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = 9 + 2 C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$- 1 = 9 + 2 C$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Этап 3.5

Решим относительно $C$ в $- 1 = 9 + 2 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $9 + 2 C = - 1$ .

$9 + 2 C = - 1$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Этап 3.5.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$2 C = - 1 - 9$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Этап 3.5.2.2

Вычтем $9$ из $- 1$ .

$2 C = - 10$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$2 C = - 10$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $2 C = - 10$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $2 C = - 10$ на $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 10}{2}$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 10}{2}$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Этап 3.5.3.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{- 10}{2}$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$C = \frac{- 10}{2}$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$C = \frac{- 10}{2}$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Этап 3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Разделим $- 10$ на $2$ .

$C = - 5$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$C = - 5$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$C = - 5$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

$C = - 5$

$B = - 9 - C$

$A = 16$

Этап 3.6

Заменим все вхождения $C$ на $- 5$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Заменим все вхождения $C$ в $B = - 9 - C$ на $- 5$ .

$B = - 9 - (- 5)$

$C = - 5$

$A = 16$

Этап 3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Упростим $- 9 - (- 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$B = - 9 + 5$

$C = - 5$

$A = 16$

Этап 3.6.2.1.2

Добавим $- 9$ и $5$ .

$B = - 4$

$C = - 5$

$A = 16$

$B = - 4$

$C = - 5$

$A = 16$

$B = - 4$

$C = - 5$

$A = 16$

$B = - 4$

$C = - 5$

$A = 16$

Этап 3.7

Перечислим все решения.

$B = - 4, C = - 5, A = 16$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{16}{x} + \frac{- 4}{x + 1} + \frac{- 5}{x - 1}$