Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + y^{2} = 4 x$ , $x = y^{2}$

Этап 1

Заменим все вхождения $x$ на $y^{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим все вхождения $x$ в $x^{2} + y^{2} = 4 x$ на $y^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

Этап 1.2

Упростим ${(y^{2})}^{2} + y^{2} = 4 (y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2 \cdot 2} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

Этап 1.2.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y^{4} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

Этап 1.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим $4$ на $y^{2}$ .

$y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$

$x = y^{2}$

Этап 2

Решим относительно $y$ в $y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вычтем $4 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{4} + y^{2} - 4 y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

Этап 2.1.2

Вычтем $4 y^{2}$ из $y^{2}$ .

$y^{4} - 3 y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

$y^{4} - 3 y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $y^{4}$ в виде ${(y^{2})}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} - 3 y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

Этап 2.2.2

Пусть $u = y^{2}$ . Подставим $u$ вместо $y^{2}$ для всех.

$u^{2} - 3 u = 0$

$x = y^{2}$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u^{2} - 3 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$u \cdot u - 3 u = 0$

$x = y^{2}$

Этап 2.2.3.2

Вынесем множитель $u$ из $- 3 u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 3 = 0$

$x = y^{2}$

Этап 2.2.3.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u + u \cdot - 3$ .

$u (u - 3) = 0$

$x = y^{2}$

$u (u - 3) = 0$

$x = y^{2}$

Этап 2.2.4

Заменим все вхождения $u$ на $y^{2}$ .

$y^{2} (y^{2} - 3) = 0$

$x = y^{2}$

$y^{2} (y^{2} - 3) = 0$

$x = y^{2}$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y^{2} = 0$

$y^{2} - 3 = 0$

$x = y^{2}$

Этап 2.4

Приравняем $y^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $y^{2}$ к $0$ .

$y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

Этап 2.4.2

Решим $y^{2} = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{0}$

$x = y^{2}$

Этап 2.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

$x = y^{2}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm 0$

$x = y^{2}$

Этап 2.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$y = 0$

$x = y^{2}$

$y = 0$

$x = y^{2}$

$y = 0$

$x = y^{2}$

$y = 0$

$x = y^{2}$

Этап 2.5

Приравняем $y^{2} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $y^{2} - 3$ к $0$ .

$y^{2} - 3 = 0$

$x = y^{2}$

Этап 2.5.2

Решим $y^{2} - 3 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} = 3$

$x = y^{2}$

Этап 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

Этап 2.5.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

Этап 2.5.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

Этап 2.5.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $y^{2} (y^{2} - 3) = 0$ верно.

$y = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

$y = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

Этап 3

Заменим все вхождения $y$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = y^{2}$ на $0$ .

$x = {(0)}^{2}$

$y = 0$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

Этап 4

Заменим все вхождения $y$ на $\sqrt{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = y^{2}$ на $\sqrt{3}$ .

$x = {(\sqrt{3})}^{2}$

$y = \sqrt{3}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = \sqrt{3}$

Этап 4.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = \sqrt{3}$

Этап 4.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = \sqrt{3}$

Этап 4.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = \sqrt{3}$

Этап 4.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

Этап 4.2.1.5

Найдем экспоненту.

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

Этап 5

Заменим все вхождения $y$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = y^{2}$ на $0$ .

$x = {(0)}^{2}$

$y = 0$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

Этап 6

Заменим все вхождения $y$ на $\sqrt{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = y^{2}$ на $\sqrt{3}$ .

$x = {(\sqrt{3})}^{2}$

$y = \sqrt{3}$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = \sqrt{3}$

Этап 6.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = \sqrt{3}$

Этап 6.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = \sqrt{3}$

Этап 6.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = \sqrt{3}$

Этап 6.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

Этап 6.2.1.5

Найдем экспоненту.

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

Этап 7

Заменим все вхождения $y$ на $- \sqrt{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = y^{2}$ на $- \sqrt{3}$ .

$x = {(- \sqrt{3})}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим ${(- \sqrt{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$x = {(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

Этап 7.2.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = 1 {\sqrt{3}}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

Этап 7.2.1.1.3

Умножим ${\sqrt{3}}^{2}$ на $1$ .

$x = {\sqrt{3}}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

$x = {\sqrt{3}}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

Этап 7.2.1.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

Этап 7.2.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = - \sqrt{3}$

Этап 7.2.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = - \sqrt{3}$

Этап 7.2.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = - \sqrt{3}$

Этап 7.2.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

Этап 7.2.1.2.5

Найдем экспоненту.

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

Этап 8

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(3, \sqrt{3})$

$(3, - \sqrt{3})$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(0, 0), (3, \sqrt{3}), (3, - \sqrt{3})$

Форма уравнения:

$x = 0, y = 0$

$x = 3, y = \sqrt{3}$

$x = 3, y = - \sqrt{3}$

Этап 10