Основы мат. анализа Примеры

$e^{2 x} - 8 e^{x} + 7 = 0$

Этап 1

Перепишем $e^{2 x}$ в виде ${(e^{x})}^{2}$ .

${(e^{x})}^{2} - 8 e^{x} + 7 = 0$

Этап 2

Пусть $u = e^{x}$ . Подставим $u$ вместо $e^{x}$ для всех.

$u^{2} - 8 u + 7 = 0$

Этап 3

Разложим $u^{2} - 8 u + 7$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $7$ , а сумма — $- 8$ .

$- 7, - 1$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 7) (u - 1) = 0$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $e^{x}$ .

$(e^{x} - 7) (e^{x} - 1) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} - 7 = 0$

$e^{x} - 1 = 0$

Этап 6

Приравняем $e^{x} - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $e^{x} - 7$ к $0$ .

$e^{x} - 7 = 0$

Этап 6.2

Решим $e^{x} - 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$e^{x} = 7$

Этап 6.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (7)$

Этап 6.2.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (7)$

Этап 6.2.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (7)$

Этап 6.2.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (7)$

Этап 7

Приравняем $e^{x} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $e^{x} - 1$ к $0$ .

$e^{x} - 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $e^{x} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$e^{x} = 1$

Этап 7.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Этап 7.2.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Этап 7.2.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Этап 7.2.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (1)$

Этап 7.2.4

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$x = 0$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(e^{x} - 7) (e^{x} - 1) = 0$ верно.

$x = \ln (7), 0$