Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\frac{x - 1}{x}) + \ln (\frac{x}{x + 1}) - \ln (x^{2} - 1)$

Этап 1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}) - \ln (x^{2} - 1)$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}}{x^{2} - 1})$

Этап 3

Умножим $\frac{x - 1}{x}$ на $\frac{x}{x + 1}$ .

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{x^{2} - 1})$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{x^{2} - 1^{2}})$

Этап 4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{(x + 1) (x - 1)})$

Этап 5

Сократим выражение $\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{(x + 1) (x - 1)})$

Этап 5.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{\frac{x - 1}{x + 1}}{(x + 1) (x - 1)})$

Этап 6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)})$

Этап 7

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x - 1) (x + 1)})$

Этап 7.2

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x - 1) (x + 1)})$

Этап 7.3

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1})$

Этап 8

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $\frac{1}{x + 1}$ .

$\ln (\frac{1}{(x + 1) (x + 1)})$

Этап 9

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)})$

Этап 10

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}})$

Этап 11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}})$

Этап 12

Добавим $1$ и $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{2}})$