Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 3 x^{4} - 19 x^{3} - 27 x^{2} + 359 x - 116$

Этап 1

Приравняем $3 x^{4} - 19 x^{3} - 27 x^{2} + 359 x - 116$ к $0$ .

$3 x^{4} - 19 x^{3} - 27 x^{2} + 359 x - 116 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разложим $3 x^{4} - 19 x^{3} - 27 x^{2} + 359 x - 116$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 116, \pm 2, \pm 58, \pm 4, \pm 29$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 2.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 116, \pm 38.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 58, \pm 19.\overline{3}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 29, \pm 9.\overline{6}$

Этап 2.1.1.3

Подставим $0.\overline{3}$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.\overline{3}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим $0.\overline{3}$ в многочлен.

$3 \cdot {0.\overline{3}}^{4} - 19 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 27 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 359 \cdot 0.\overline{3} - 116$

Этап 2.1.1.3.2

Возведем $0.\overline{3}$ в степень $4$ .

$3 \cdot 0.01234567 - 19 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 27 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 359 \cdot 0.\overline{3} - 116$

Этап 2.1.1.3.3

Умножим $3$ на $0.01234567$ .

$0.\overline{037} - 19 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 27 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 359 \cdot 0.\overline{3} - 116$

Этап 2.1.1.3.4

Возведем $0.\overline{3}$ в степень $3$ .

$0.\overline{037} - 19 \cdot 0.\overline{037} - 27 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 359 \cdot 0.\overline{3} - 116$

Этап 2.1.1.3.5

Умножим $- 19$ на $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{037} - 0.\overline{703} - 27 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 359 \cdot 0.\overline{3} - 116$

Этап 2.1.1.3.6

Вычтем $0.\overline{703}$ из $0.\overline{037}$ .

$- 0.66666666 - 27 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 359 \cdot 0.\overline{3} - 116$

Этап 2.1.1.3.7

Возведем $0.\overline{3}$ в степень $2$ .

$- 0.66666666 - 27 \cdot 0.\overline{1} + 359 \cdot 0.\overline{3} - 116$

Этап 2.1.1.3.8

Умножим $- 27$ на $0.\overline{1}$ .

$- 0.66666666 - 3 + 359 \cdot 0.\overline{3} - 116$

Этап 2.1.1.3.9

Вычтем $3$ из $- 0.66666666$ .

$- 3.66666666 + 359 \cdot 0.\overline{3} - 116$

Этап 2.1.1.3.10

Умножим $359$ на $0.\overline{3}$ .

$- 3.66666666 + 119.\overline{6} - 116$

Этап 2.1.1.3.11

Добавим $- 3.66666666$ и $119.\overline{6}$ .

$116 - 116$

Этап 2.1.1.3.12

Вычтем $116$ из $116$ .

$0$

Этап 2.1.1.4

Поскольку $0.\overline{3}$ — известный корень, разделим многочлен на $3 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{3 x^{4} - 19 x^{3} - 27 x^{2} + 359 x - 116}{3 x - 1}$

Этап 2.1.1.5

Разделим $3 x^{4} - 19 x^{3} - 27 x^{2} + 359 x - 116$ на $3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$19 x^{3}$

$27 x^{2}$

$359 x$

$116$

Этап 2.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

					$x^{3}$
	$3 x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$19 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$359 x$	-	$116$

Этап 2.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{3}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$19 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$359 x$	-	$116$
			+	$3 x^{4}$	-	$x^{3}$

Этап 2.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{4} - x^{3}$ .

				$x^{3}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$19 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$359 x$	-	$116$
			-	$3 x^{4}$	+	$x^{3}$

Этап 2.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{3}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$19 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$359 x$	-	$116$
			-	$3 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$18 x^{3}$

Этап 2.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{3}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$19 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$359 x$	-	$116$
			-	$3 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$18 x^{3}$	-	$27 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 18 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$19 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$359 x$	-	$116$
			-	$3 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$18 x^{3}$	-	$27 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$19 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$359 x$	-	$116$
			-	$3 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$18 x^{3}$	-	$27 x^{2}$
					-	$18 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 18 x^{3} + 6 x^{2}$ .

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$19 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$359 x$	-	$116$
			-	$3 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$18 x^{3}$	-	$27 x^{2}$
					+	$18 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$19 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$359 x$	-	$116$
			-	$3 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$18 x^{3}$	-	$27 x^{2}$
					+	$18 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$33 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$19 x^{3}$

$27 x^{2}$

$359 x$

$116$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$18 x^{3}$

$27 x^{2}$

$18 x^{3}$

$6 x^{2}$

$33 x^{2}$

$359 x$

Этап 2.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 33 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$19 x^{3}$

$27 x^{2}$

$359 x$

$116$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$18 x^{3}$

$27 x^{2}$

$18 x^{3}$

$6 x^{2}$

$33 x^{2}$

$359 x$

Этап 2.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$19 x^{3}$

$27 x^{2}$

$359 x$

$116$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$18 x^{3}$

$27 x^{2}$

$18 x^{3}$

$6 x^{2}$

$33 x^{2}$

$359 x$

$33 x^{2}$

$11 x$

Этап 2.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 33 x^{2} + 11 x$ .

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$19 x^{3}$

$27 x^{2}$

$359 x$

$116$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$18 x^{3}$

$27 x^{2}$

$18 x^{3}$

$6 x^{2}$

$33 x^{2}$

$359 x$

$33 x^{2}$

$11 x$

Этап 2.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$19 x^{3}$

$27 x^{2}$

$359 x$

$116$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$18 x^{3}$

$27 x^{2}$

$18 x^{3}$

$6 x^{2}$

$33 x^{2}$

$359 x$

$33 x^{2}$

$11 x$

$348 x$

Этап 2.1.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$19 x^{3}$

$27 x^{2}$

$359 x$

$116$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$18 x^{3}$

$27 x^{2}$

$18 x^{3}$

$6 x^{2}$

$33 x^{2}$

$359 x$

$33 x^{2}$

$11 x$

$348 x$

$116$

Этап 2.1.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $348 x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$116$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$19 x^{3}$

$27 x^{2}$

$359 x$

$116$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$18 x^{3}$

$27 x^{2}$

$18 x^{3}$

$6 x^{2}$

$33 x^{2}$

$359 x$

$33 x^{2}$

$11 x$

$348 x$

$116$

Этап 2.1.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$19 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$359 x$	-	$116$
			-	$3 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$18 x^{3}$	-	$27 x^{2}$
					+	$18 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$33 x^{2}$	+	$359 x$
							+	$33 x^{2}$	-	$11 x$
									+	$348 x$	-	$116$
									+	$348 x$	-	$116$

Этап 2.1.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $348 x - 116$ .

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$19 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$359 x$	-	$116$
			-	$3 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$18 x^{3}$	-	$27 x^{2}$
					+	$18 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$33 x^{2}$	+	$359 x$
							+	$33 x^{2}$	-	$11 x$
									+	$348 x$	-	$116$
									-	$348 x$	+	$116$

Этап 2.1.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{4}$	-	$19 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$359 x$	-	$116$
			-	$3 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$18 x^{3}$	-	$27 x^{2}$
					+	$18 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$33 x^{2}$	+	$359 x$
							+	$33 x^{2}$	-	$11 x$
									+	$348 x$	-	$116$
									-	$348 x$	+	$116$
												$0$

Этап 2.1.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$

Этап 2.1.1.6

Запишем $3 x^{4} - 19 x^{3} - 27 x^{2} + 359 x - 116$ в виде набора множителей.

$(3 x - 1) (x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116) = 0$

Этап 2.1.2

Разложим $x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разложим $x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

$p = \pm 1, \pm 116, \pm 2, \pm 58, \pm 4, \pm 29$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 116, \pm 2, \pm 58, \pm 4, \pm 29$

Этап 2.1.2.1.3

Подставим $- 4$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 4$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Подставим $- 4$ в многочлен.

${(- 4)}^{3} - 6 {(- 4)}^{2} - 11 \cdot - 4 + 116$

Этап 2.1.2.1.3.2

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$- 64 - 6 {(- 4)}^{2} - 11 \cdot - 4 + 116$

Этап 2.1.2.1.3.3

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$- 64 - 6 \cdot 16 - 11 \cdot - 4 + 116$

Этап 2.1.2.1.3.4

Умножим $- 6$ на $16$ .

$- 64 - 96 - 11 \cdot - 4 + 116$

Этап 2.1.2.1.3.5

Вычтем $96$ из $- 64$ .

$- 160 - 11 \cdot - 4 + 116$

Этап 2.1.2.1.3.6

Умножим $- 11$ на $- 4$ .

$- 160 + 44 + 116$

Этап 2.1.2.1.3.7

Добавим $- 160$ и $44$ .

$- 116 + 116$

Этап 2.1.2.1.3.8

Добавим $- 116$ и $116$ .

$0$

Этап 2.1.2.1.4

Поскольку $- 4$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 4$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116}{x + 4}$

Этап 2.1.2.1.5

Разделим $x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ на $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.5.1

$x$

$4$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$116$

Этап 2.1.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$

Этап 2.1.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			+	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 2.1.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 4 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 2.1.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

Этап 2.1.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$

Этап 2.1.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 10 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$

Этап 2.1.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$40 x$

Этап 2.1.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 10 x^{2} - 40 x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$

Этап 2.1.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$

Этап 2.1.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$

Этап 2.1.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $29 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$

Этап 2.1.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$
							+	$29 x$	+	$116$

Этап 2.1.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $29 x + 116$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$
							-	$29 x$	-	$116$

Этап 2.1.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$
							-	$29 x$	-	$116$
										$0$

Этап 2.1.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 10 x + 29$

Этап 2.1.2.1.6

Запишем $x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ в виде набора множителей.

$(3 x - 1) ((x + 4) (x^{2} - 10 x + 29)) = 0$

Этап 2.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(3 x - 1) (x + 4) (x^{2} - 10 x + 29) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 10 x + 29 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 2.3.2.2

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 2.4

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} - 10 x + 29$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} - 10 x + 29$ к $0$ .

$x^{2} - 10 x + 29 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} - 10 x + 29 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 10$ и $c = 29$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 29)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 29$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $29$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 116}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.3

Вычтем $116$ из $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2}$

Этап 2.5.2.3.3

Упростим $\frac{10 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 5 \pm 2 i$

Этап 2.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 5 + 2 i, 5 - 2 i$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 1) (x + 4) (x^{2} - 10 x + 29) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{3}, - 4, 5 + 2 i, 5 - 2 i$

Этап 3