Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{3} + 7 x^{2} + 14 x + 8$

Этап 1

Приравняем $x^{3} + 7 x^{2} + 14 x + 8$ к $0$ .

$x^{3} + 7 x^{2} + 14 x + 8 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$x^{3} + 8 + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Этап 2.1.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$x^{3} + 2^{3} + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Этап 2.1.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Этап 2.1.4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $7 x$ из $7 x^{2} + 14 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Вынесем множитель $7 x$ из $7 x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x) + 14 x = 0$

Этап 2.1.5.2

Вынесем множитель $7 x$ из $14 x$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x) + 7 x (2) = 0$

Этап 2.1.5.3

Вынесем множитель $7 x$ из $7 x (x) + 7 x (2)$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x + 2) = 0$

Этап 2.1.6

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $7 x (x + 2)$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (7 x) = 0$

Этап 2.1.6.2

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (7 x)$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4 + 7 x) = 0$

Этап 2.1.7

Добавим $- 2 x$ и $7 x$ .

$(x + 2) (x^{2} + 5 x + 4) = 0$

Этап 2.1.8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Разложим $x^{2} + 5 x + 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $4$ , а сумма — $5$ .

$1, 4$

Этап 2.1.8.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 2) ((x + 1) (x + 4)) = 0$

Этап 2.1.8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 2) (x + 1) (x + 4) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x + 1) (x + 4) = 0$ верно.

$x = - 2, - 1, - 4$

Этап 3