Основы мат. анализа Примеры

$\frac{4 x - 2}{x + 3} \leq 3$

Этап 1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$\frac{4 x - 2}{x + 3} - 3 \leq 0$

Этап 2

Упростим $\frac{4 x - 2}{x + 3} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) - 2}{x + 3} - 3 \leq 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (- 1)}{x + 3} - 3 \leq 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (2 x - 1)}{x + 3} - 3 \leq 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 (2 x - 1)}{x + 3} - 3 \cdot \frac{x + 3}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.3

Объединим $- 3$ и $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 (2 x - 1)}{x + 3} + \frac{- 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (2 x - 1) - 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 x + 2 \cdot - 1 - 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{4 x - 2 - 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x - 2 - 3 x - 3 \cdot 3}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.5.5

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\frac{4 x - 2 - 3 x - 9}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.5.6

Вычтем $3 x$ из $4 x$ .

$\frac{x - 2 - 9}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.5.7

Вычтем $9$ из $- 2$ .

$\frac{x - 11}{x + 3} \leq 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 11 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 4

Добавим $11$ к обеим частям уравнения.

$x = 11$

Этап 5

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 11$

$x = - 3$

Этап 7

Объединим решения.

$x = 11, - 3$

Этап 8

Найдем область определения $\frac{x - 11}{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 11}{x + 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 3 = 0$

Этап 8.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 11$

$x > 11$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{4 (- 6) - 2}{(- 6) + 3} \leq 3$

Этап 10.1.3

Левая часть $8.\overline{6}$ больше правой части $3$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 11$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 11$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{4 (0) - 2}{(0) + 3} \leq 3$

Этап 10.2.3

Левая часть $- 0.\overline{6}$ меньше правой части $3$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > 11$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 11$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 14$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $14$ в исходном неравенстве.

$\frac{4 (14) - 2}{(14) + 3} \leq 3$

Этап 10.3.3

Левая часть $3.17647058$ больше правой части $3$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 11$ Истина

$x > 11$ Ложь

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 11$ Истина

$x > 11$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 3 < x \leq 11$

Этап 12

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 3, 11]$

Этап 13