Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} + 5 x^{2} < x + 5$

Этап 1

Вычтем $x$ из обеих частей неравенства.

$x^{3} + 5 x^{2} - x < 5$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{3} + 5 x^{2} - x = 5$

Этап 3

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} + 5 x^{2} - x - 5 = 0$

Этап 4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{3} + 5 x^{2}) - x - 5 = 0$

Этап 4.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{2} (x + 5) - (x + 5) = 0$

Этап 4.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 5$ .

$(x + 5) (x^{2} - 1) = 0$

Этап 4.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(x + 5) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 4.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x + 5) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 4.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 5) (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 5 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 6

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 7

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 8

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 8.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 5) (x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = - 5, - 1, 1$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

${(- 8)}^{3} + 5 {(- 8)}^{2} < (- 8) + 5$

Этап 11.1.3

Левая часть $- 192$ меньше правой части $- 3$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

${(- 3)}^{3} + 5 {(- 3)}^{2} < (- 3) + 5$

Этап 11.2.3

Левая часть $18$ не меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} < (0) + 5$

Этап 11.3.3

Левая часть $0$ меньше правой части $5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

${(4)}^{3} + 5 {(4)}^{2} < (4) + 5$

Этап 11.4.3

Левая часть $144$ не меньше правой части $9$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 5$ или $- 1 < x < 1$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 5) \cup (- 1, 1)$

Этап 14