Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} - 80 x^{2} + 1024 < 0$

Этап 1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 80 u + 1024 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2

Разложим $u^{2} - 80 u + 1024$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $1024$ , а сумма — $- 80$ .

$- 64, - 16$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 64) (u - 16) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 64 = 0$

$u - 16 = 0$

Этап 4

Приравняем $u - 64$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $u - 64$ к $0$ .

$u - 64 = 0$

Этап 4.2

Добавим $64$ к обеим частям уравнения.

$u = 64$

Этап 5

Приравняем $u - 16$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $u - 16$ к $0$ .

$u - 16 = 0$

Этап 5.2

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$u = 16$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 64) (u - 16) = 0$ верно.

$u = 64, 16$

Этап 7

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 64$

${(x^{2})}^{1} = 16$

Этап 8

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 64$

Этап 9

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{64}$

Этап 9.2

Упростим $\pm \sqrt{64}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Этап 9.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 8$

Этап 9.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 8$

Этап 9.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 8$

Этап 9.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 8, - 8$

Этап 10

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 16$

Этап 11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 16$

Этап 11.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{16}$

Этап 11.3

Упростим $\pm \sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Этап 11.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 4$

Этап 11.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4$

Этап 11.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4$

Этап 11.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 4$

Этап 12

Решением $x^{4} - 80 x^{2} + 1024 = 0$ является $x = 8, - 8, 4, - 4$ .

$x = 8, - 8, 4, - 4$

Этап 13

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$4 < x < 8$

$x > 8$

Этап 14

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проверим значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 14.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

${(- 10)}^{4} - 80 {(- 10)}^{2} + 1024 < 0$

Этап 14.1.3

Левая часть $3024$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 14.2

Проверим значение на интервале $- 8 < x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Выберем значение на интервале $- 8 < x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 14.2.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

${(- 6)}^{4} - 80 {(- 6)}^{2} + 1024 < 0$

Этап 14.2.3

Левая часть $- 560$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 14.3

Проверим значение на интервале $- 4 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 14.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{4} - 80 {(0)}^{2} + 1024 < 0$

Этап 14.3.3

Левая часть $1024$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 14.4

Проверим значение на интервале $4 < x < 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Выберем значение на интервале $4 < x < 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 14.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

${(6)}^{4} - 80 {(6)}^{2} + 1024 < 0$

Этап 14.4.3

Левая часть $- 560$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 14.5

Проверим значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Выберем значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 14.5.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

${(10)}^{4} - 80 {(10)}^{2} + 1024 < 0$

Этап 14.5.3

Левая часть $3024$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 14.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 8$ Ложь

$- 8 < x < - 4$ Истина

$- 4 < x < 4$ Ложь

$4 < x < 8$ Истина

$x > 8$ Ложь

$x < - 8$ Ложь

$- 8 < x < - 4$ Истина

$- 4 < x < 4$ Ложь

$4 < x < 8$ Истина

$x > 8$ Ложь

Этап 15

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 8 < x < - 4$ или $4 < x < 8$

Этап 16

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 8, - 4) \cup (4, 8)$

Этап 17