Основы мат. анализа Примеры

$\sin (3 x) = \frac{1}{2}$ , $[0, 2 π)$

Этап 1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$3 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$3 x = \frac{π}{6}$

Этап 3

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{6}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{6}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 3.3.2

Умножим $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $\frac{π}{6}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 3}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $6$ на $3$ .

$x = \frac{π}{18}$

Этап 4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$3 x = π - \frac{π}{6}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$3 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 5.1.2

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 5.1.4

Вычтем $π$ из $π \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $6$ .

$3 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 5.1.4.2

Вычтем $π$ из $6 \cdot π$ .

$3 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $3 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{6}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 3}$

Этап 5.2.3.2.2

Умножим $6$ на $3$ .

$x = \frac{5 π}{18}$

Этап 6

Найдем период $\sin (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 7

Период функции $\sin (3 x)$ равен $\frac{2 π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{2 π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 8

Найдем значения $n$ , которые позволяют получить значение в интервале $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π (0)}{3}$

Этап 8.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1.1

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $2 π (0)$ .

$\frac{π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Этап 8.1.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Этап 8.1.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Этап 8.1.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{18} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Этап 8.1.2.1.1.2.4

Разделим $2 π \cdot (0)$ на $1$ .

$\frac{π}{18} + 2 π \cdot (0)$

Этап 8.1.2.1.2

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1.2.1

Умножим $0$ на $2$ .

$\frac{π}{18} + 0 π$

Этап 8.1.2.1.2.2

Умножим $0$ на $π$ .

$\frac{π}{18} + 0$

Этап 8.1.2.2

Добавим $\frac{π}{18}$ и $0$ .

$\frac{π}{18}$

Этап 8.1.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}$

Этап 8.2

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π (0)}{3}$

Этап 8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $2 π (0)$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Этап 8.2.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Этап 8.2.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Этап 8.2.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Этап 8.2.2.1.1.2.4

Разделим $2 π \cdot (0)$ на $1$ .

$\frac{5 π}{18} + 2 π \cdot (0)$

Этап 8.2.2.1.2

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.2.1

Умножим $0$ на $2$ .

$\frac{5 π}{18} + 0 π$

Этап 8.2.2.1.2.2

Умножим $0$ на $π$ .

$\frac{5 π}{18} + 0$

Этап 8.2.2.2

Добавим $\frac{5 π}{18}$ и $0$ .

$\frac{5 π}{18}$

Этап 8.2.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{5 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}$

Этап 8.3

Подставим $1$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Подставим $1$ вместо $n$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π (1)}{3}$

Этап 8.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π}{3}$

Этап 8.3.2.2

Чтобы записать $\frac{2 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Этап 8.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $18$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.3.1

Умножим $\frac{2 π}{3}$ на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Этап 8.3.2.3.2

Умножим $3$ на $6$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{18}$

Этап 8.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π + 2 π \cdot 6}{18}$

Этап 8.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.5.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{π + 12 π}{18}$

Этап 8.3.2.5.2

Добавим $π$ и $12 π$ .

$\frac{13 π}{18}$

Этап 8.3.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{13 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}$

Этап 8.4

Подставим $1$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Подставим $1$ вместо $n$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π (1)}{3}$

Этап 8.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π}{3}$

Этап 8.4.2.2

Чтобы записать $\frac{2 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Этап 8.4.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $18$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.1

Умножим $\frac{2 π}{3}$ на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Этап 8.4.2.3.2

Умножим $3$ на $6$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{18}$

Этап 8.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 π + 2 π \cdot 6}{18}$

Этап 8.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.5.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{5 π + 12 π}{18}$

Этап 8.4.2.5.2

Добавим $5 π$ и $12 π$ .

$\frac{17 π}{18}$

Этап 8.4.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{17 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}, \frac{17 π}{18}$

Этап 8.5

Подставим $2$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Подставим $2$ вместо $n$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π (2)}{3}$

Этап 8.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π}{3}$

Этап 8.5.2.2

Чтобы записать $\frac{4 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Этап 8.5.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $18$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.3.1

Умножим $\frac{4 π}{3}$ на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Этап 8.5.2.3.2

Умножим $3$ на $6$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{18}$

Этап 8.5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π + 4 π \cdot 6}{18}$

Этап 8.5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.5.1

Умножим $6$ на $4$ .

$\frac{π + 24 π}{18}$

Этап 8.5.2.5.2

Добавим $π$ и $24 π$ .

$\frac{25 π}{18}$

Этап 8.5.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{25 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}, \frac{17 π}{18}, \frac{25 π}{18}$

Этап 8.6

Подставим $2$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Подставим $2$ вместо $n$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π (2)}{3}$

Этап 8.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π}{3}$

Этап 8.6.2.2

Чтобы записать $\frac{4 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Этап 8.6.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $18$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.3.1

Умножим $\frac{4 π}{3}$ на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Этап 8.6.2.3.2

Умножим $3$ на $6$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{18}$

Этап 8.6.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 π + 4 π \cdot 6}{18}$

Этап 8.6.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.5.1

Умножим $6$ на $4$ .

$\frac{5 π + 24 π}{18}$

Этап 8.6.2.5.2

Добавим $5 π$ и $24 π$ .

$\frac{29 π}{18}$

Этап 8.6.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{29 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}, \frac{17 π}{18}, \frac{25 π}{18}, \frac{29 π}{18}$