Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 4 = 0$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(2)}^{4} + 2 {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 + 2 {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Этап 4.1.2

Умножим $2$ на ${(2)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $2$ на ${(2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$16 + 2^{1} {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Этап 4.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 + 2^{1 + 3} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Этап 4.1.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$16 + 2^{4} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Этап 4.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 + 16 - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Этап 4.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$16 + 16 - 5 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 4$

Этап 4.1.5

Умножим $- 5$ на $4$ .

$16 + 16 - 20 - 8 \cdot 2 + 4$

Этап 4.1.6

Умножим $- 8$ на $2$ .

$16 + 16 - 20 - 16 + 4$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $16$ и $16$ .

$32 - 20 - 16 + 4$

Этап 4.2.2

Вычтем $20$ из $32$ .

$12 - 16 + 4$

Этап 4.2.3

Вычтем $16$ из $12$ .

$- 4 + 4$

Этап 4.2.4

Добавим $- 4$ и $4$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 4}{x - 2}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(2)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$
	$1$	$4$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(8)$ под следующим членом делимого $(- 5)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$
	$1$	$4$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$
	$1$	$4$	$3$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(6)$ под следующим членом делимого $(- 8)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$	$6$
	$1$	$4$	$3$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$	$6$
	$1$	$4$	$3$	$- 2$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 2)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(- 4)$ под следующим членом делимого $(4)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$	$6$	$- 4$
	$1$	$4$	$3$	$- 2$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$	$6$	$- 4$
	$1$	$4$	$3$	$- 2$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{3} + 4 x^{2} + (3) x - 2$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим $x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 7.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2$

Этап 7.1.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

${(- 2)}^{3} + 4 {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2 - 2$

Этап 7.1.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 + 4 {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2 - 2$

Этап 7.1.3.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 8 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot - 2 - 2$

Этап 7.1.3.4

Умножим $4$ на $4$ .

$- 8 + 16 + 3 \cdot - 2 - 2$

Этап 7.1.3.5

Добавим $- 8$ и $16$ .

$8 + 3 \cdot - 2 - 2$

Этап 7.1.3.6

Умножим $3$ на $- 2$ .

$8 - 6 - 2$

Этап 7.1.3.7

Вычтем $6$ из $8$ .

$2 - 2$

Этап 7.1.3.8

Вычтем $2$ из $2$ .

$0$

Этап 7.1.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2}{x + 2}$

Этап 7.1.5

Разделим $x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$2$

Этап 7.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$

Этап 7.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 7.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 7.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Этап 7.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 7.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 7.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Этап 7.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{2} + 4 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Этап 7.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$

Этап 7.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$

Этап 7.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$

Этап 7.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$
							-	$x$	-	$2$

Этап 7.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x - 2$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$
							+	$x$	+	$2$

Этап 7.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$
							+	$x$	+	$2$
										$0$

Этап 7.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 2 x - 1$

Этап 7.1.6

Запишем $x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2$ в виде набора множителей.

$(x + 2) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 7.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 7.4

Приравняем $x^{2} + 2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $x^{2} + 2 x - 1$ к $0$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Этап 7.4.2

Решим $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.3

Добавим $4$ и $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.4.2.3.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Этап 7.4.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.4.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.3

Добавим $4$ и $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.4.2.4.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Этап 7.4.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{2}$

Этап 7.4.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.3

Добавим $4$ и $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.4.2.5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Этап 7.4.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{2}$

Этап 7.4.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Этап 7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$ верно.

$x = - 2, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x - 2) (x + 2) (x + 1 - \sqrt{2}) (x + 1 + \sqrt{2})$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 4$ .

$x = 2, - 2, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 2, - 2, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Десятичная форма:

$x = 2, - 2, 0.41421356 \dots, - 2.41421356 \dots$

Этап 11