Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2 = 0$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 5 {(1)}^{3} + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

Этап 4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 5 \cdot 1 + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

Этап 4.1.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$1 - 5 + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

Этап 4.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 5 + 9 \cdot 1 - 7 \cdot 1 + 2$

Этап 4.1.5

Умножим $9$ на $1$ .

$1 - 5 + 9 - 7 \cdot 1 + 2$

Этап 4.1.6

Умножим $- 7$ на $1$ .

$1 - 5 + 9 - 7 + 2$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $5$ из $1$ .

$- 4 + 9 - 7 + 2$

Этап 4.2.2

Добавим $- 4$ и $9$ .

$5 - 7 + 2$

Этап 4.2.3

Вычтем $7$ из $5$ .

$- 2 + 2$

Этап 4.2.4

Добавим $- 2$ и $2$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2}{x - 1}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(- 5)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$
	$1$	$- 4$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 4)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(- 4)$ под следующим членом делимого $(9)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$
	$1$	$- 4$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$
	$1$	$- 4$	$5$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(5)$ под следующим членом делимого $(- 7)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$
	$1$	$- 4$	$5$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$
	$1$	$- 4$	$5$	$- 2$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 2)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(- 2)$ под следующим членом делимого $(2)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 4$	$5$	$- 2$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 4$	$5$	$- 2$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (5) x - 2$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Разложим $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 7.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2$

Этап 7.1.1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} - 4 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 2$

Этап 7.1.1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 - 4 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 2$

Этап 7.1.1.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 - 4 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 2$

Этап 7.1.1.3.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$1 - 4 + 5 \cdot 1 - 2$

Этап 7.1.1.3.5

Вычтем $4$ из $1$ .

$- 3 + 5 \cdot 1 - 2$

Этап 7.1.1.3.6

Умножим $5$ на $1$ .

$- 3 + 5 - 2$

Этап 7.1.1.3.7

Добавим $- 3$ и $5$ .

$2 - 2$

Этап 7.1.1.3.8

Вычтем $2$ из $2$ .

$0$

Этап 7.1.1.4

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2}{x - 1}$

Этап 7.1.1.5

Разделим $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$2$

Этап 7.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$

Этап 7.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 7.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 7.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Этап 7.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$

Этап 7.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$

Этап 7.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 7.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{2} + 3 x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 7.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$

Этап 7.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$

Этап 7.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$

Этап 7.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Этап 7.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x - 2$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Этап 7.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

Этап 7.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 3 x + 2$

Этап 7.1.1.6

Запишем $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ в виде набора множителей.

$(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Этап 7.1.2

Разложим $x^{2} - 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Разложим $x^{2} - 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 7.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 1) ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Этап 7.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) (x - 2) (x - 1) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 7.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 7.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 7.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x - 2) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 1, 2$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x - 1) (x - 2)$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2$ .

$x = 1, 2$

Этап 10