Основы мат. анализа Примеры

$\frac{4 x - 5}{x {(2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{D x + F}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x {(2 x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{(4 x - 5) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{x {(2 x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(4 x - 5) ({(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель ${(2 x^{2} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(4 x - 5) {(2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.5.2

Разделим $4 x - 5$ на $1$ .

$4 x - 5 = \frac{A (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$4 x - 5 = \frac{A (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.1.2

Разделим $A ({(2 x^{2} + 1)}^{2})$ на $1$ .

$4 x - 5 = A ({(2 x^{2} + 1)}^{2}) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.2

Перепишем ${(2 x^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ .

$4 x - 5 = A ((2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.3

Развернем $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 5 = A (2 x^{2} (2 x^{2} + 1) + 1 (2 x^{2} + 1)) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 5 = A (2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2} + 1)) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 5 = A (2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x - 5 = A (2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.4.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$4 x - 5 = A (2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x - 5 = A (2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.4.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$4 x - 5 = A (2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.4.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x - 5 = A (4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.4.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$4 x - 5 = A (4 x^{4} + 2 x^{2} + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.4.1.5

Умножим $2 x^{2}$ на $1$ .

$4 x - 5 = A (4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.4.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$4 x - 5 = A (4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.4.2

Добавим $2 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$4 x - 5 = A (4 x^{4} + 4 x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 5 = A (4 x^{4}) + A (4 x^{2}) + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + A (4 x^{2}) + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.6.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.6.3

Умножим $A$ на $1$ .

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.7

Сократим общий множитель ${(2 x^{2} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.1

Сократим общий множитель.

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.7.2

Разделим $(B x + C) (x)$ на $1$ .

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + (B x + C) (x) + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.8

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x \cdot x + C x + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.9

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.9.1

Перенесем $x$ .

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.9.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.10

Сократим общий множитель ${(2 x^{2} + 1)}^{2}$ и $2 x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.10.1

Вынесем множитель $2 x^{2} + 1$ из $(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})$ .

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(2 x^{2} + 1) ((D x + F) (x (2 x^{2} + 1)))}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1.6.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.10.2.1

Умножим на $1$ .

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(2 x^{2} + 1) ((D x + F) (x (2 x^{2} + 1)))}{(2 x^{2} + 1) \cdot 1}$

Этап 1.6.10.2.2

Сократим общий множитель.

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(2 x^{2} + 1) ((D x + F) (x (2 x^{2} + 1)))}{(2 x^{2} + 1) \cdot 1}$

Этап 1.6.10.2.3

Перепишем это выражение.

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(D x + F) (x (2 x^{2} + 1))}{1}$

Этап 1.6.10.2.4

Разделим $(D x + F) (x (2 x^{2} + 1))$ на $1$ .

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x (2 x^{2} + 1))$

Этап 1.6.11

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x (2 x^{2}) + x \cdot 1)$

Этап 1.6.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (2 x \cdot x^{2} + x \cdot 1)$

Этап 1.6.13

Умножим $x$ на $1$ .

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (2 x \cdot x^{2} + x)$

Этап 1.6.14

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.14.1

Перенесем $x^{2}$ .

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (2 (x^{2} x) + x)$

Этап 1.6.14.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.14.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (2 (x^{2} x) + x)$

Этап 1.6.14.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (2 x^{2 + 1} + x)$

Этап 1.6.14.3

Добавим $2$ и $1$ .

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (2 x^{3} + x)$

Этап 1.6.15

Развернем $(D x + F) (2 x^{3} + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x (2 x^{3} + x) + F (2 x^{3} + x)$

Этап 1.6.15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x (2 x^{3}) + D x \cdot x + F (2 x^{3} + x)$

Этап 1.6.15.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x (2 x^{3}) + D x \cdot x + F (2 x^{3}) + F x$

Этап 1.6.16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.16.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + 2 D x \cdot x^{3} + D x \cdot x + F (2 x^{3}) + F x$

Этап 1.6.16.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.16.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + 2 D (x^{3} x) + D x \cdot x + F (2 x^{3}) + F x$

Этап 1.6.16.2.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.16.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + 2 D (x^{3} x) + D x \cdot x + F (2 x^{3}) + F x$

Этап 1.6.16.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + 2 D x^{3 + 1} + D x \cdot x + F (2 x^{3}) + F x$

Этап 1.6.16.2.3

Добавим $3$ и $1$ .

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + 2 D x^{4} + D x \cdot x + F (2 x^{3}) + F x$

Этап 1.6.16.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.16.3.1

Перенесем $x$ .

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + 2 D x^{4} + D (x \cdot x) + F (2 x^{3}) + F x$

Этап 1.6.16.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + 2 D x^{4} + D x^{2} + F (2 x^{3}) + F x$

Этап 1.6.16.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + 2 D x^{4} + D x^{2} + 2 F x^{3} + F x$

Этап 1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Перенесем $A$ .

$4 x - 5 = 4 x^{4} A + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + 2 D x^{4} + D x^{2} + 2 F x^{3} + F x$

Этап 1.7.2

Перенесем $A$ .

$4 x - 5 = 4 x^{4} A + 4 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + 2 D x^{4} + D x^{2} + 2 F x^{3} + F x$

Этап 1.7.3

Изменим порядок $B$ и $x^{2}$ .

$4 x - 5 = 4 x^{4} A + 4 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + 2 D x^{4} + D x^{2} + 2 F x^{3} + F x$

Этап 1.7.4

Перенесем $F$ .

$4 x - 5 = 4 x^{4} A + 4 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + 2 D x^{4} + D x^{2} + 2 x^{3} F + F x$

Этап 1.7.5

Изменим порядок $F$ и $x$ .

$4 x - 5 = 4 x^{4} A + 4 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + 2 D x^{4} + D x^{2} + 2 x^{3} F + F x$

Этап 1.7.6

Перенесем $A$ .

$4 x - 5 = 4 x^{4} A + 4 x^{2} A + B x^{2} + C x + 2 D x^{4} + D x^{2} + 2 x^{3} F + F x + A$

Этап 1.7.7

Перенесем $C x$ .

$4 x - 5 = 4 x^{4} A + 4 x^{2} A + B x^{2} + 2 D x^{4} + D x^{2} + 2 x^{3} F + C x + F x + A$

Этап 1.7.8

Перенесем $D x^{2}$ .

$4 x - 5 = 4 x^{4} A + 4 x^{2} A + B x^{2} + 2 D x^{4} + 2 x^{3} F + D x^{2} + C x + F x + A$

Этап 1.7.9

Перенесем $B x^{2}$ .

$4 x - 5 = 4 x^{4} A + 4 x^{2} A + 2 D x^{4} + 2 x^{3} F + B x^{2} + D x^{2} + C x + F x + A$

Этап 1.7.10

Перенесем $4 x^{2} A$ .

$4 x - 5 = 4 x^{4} A + 2 D x^{4} + 2 x^{3} F + 4 x^{2} A + B x^{2} + D x^{2} + C x + F x + A$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{4}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = 4 A + 2 D$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{3}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = 2 F$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = 4 A + B + D$

Этап 2.4

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$4 = C + F$

Этап 2.5

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 5 = A$

Этап 2.6

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 2 F$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 2 F$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $F$ в $0 = 2 F$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $2 F = 0$ .

$2 F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $2 F = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $2 F = 0$ на $2$ .

$\frac{2 F}{2} = \frac{0}{2}$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 F}{2} = \frac{0}{2}$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

Этап 3.1.2.2.1.2

Разделим $F$ на $1$ .

$F = \frac{0}{2}$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

$F = \frac{0}{2}$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

$F = \frac{0}{2}$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $F$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $F$ в $4 = C + F$ на $0$ .

$4 = C + 0$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$- 5 = A$

Этап 3.2.2

Упростим $4 = C + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Избавимся от скобок.

$4 = C + 0$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$- 5 = A$

$4 = C + 0$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$- 5 = A$

Этап 3.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Добавим $C$ и $0$ .

$4 = C$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$- 5 = A$

$4 = C$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$- 5 = A$

$4 = C$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$- 5 = A$

Этап 3.2.3

Перепишем уравнение в виде $A = - 5$ .

$A = - 5$

$4 = C$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$A = - 5$

$4 = C$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $A$ на $- 5$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $C = 4$ .

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

Этап 3.3.2

Заменим все вхождения $A$ в $0 = 4 A + 2 D$ на $- 5$ .

$0 = 4 (- 5) + 2 D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$0 = 4 A + B + D$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $4$ на $- 5$ .

$0 = - 20 + 2 D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$0 = 4 A + B + D$

$0 = - 20 + 2 D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$0 = 4 A + B + D$

Этап 3.3.4

Заменим все вхождения $A$ в $0 = 4 A + B + D$ на $- 5$ .

$0 = 4 (- 5) + B + D$

$0 = - 20 + 2 D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

Этап 3.3.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Умножим $4$ на $- 5$ .

$0 = - 20 + B + D$

$0 = - 20 + 2 D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$0 = - 20 + B + D$

$0 = - 20 + 2 D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$0 = - 20 + B + D$

$0 = - 20 + 2 D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

Этап 3.4

Решим относительно $D$ в $0 = - 20 + 2 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $- 20 + 2 D = 0$ .

$- 20 + 2 D = 0$

$0 = - 20 + B + D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $20$ к обеим частям уравнения.

$2 D = 20$

$0 = - 20 + B + D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $2 D = 20$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $2 D = 20$ на $2$ .

$\frac{2 D}{2} = \frac{20}{2}$

$0 = - 20 + B + D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 D}{2} = \frac{20}{2}$

$0 = - 20 + B + D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим $D$ на $1$ .

$D = \frac{20}{2}$

$0 = - 20 + B + D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$D = \frac{20}{2}$

$0 = - 20 + B + D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$D = \frac{20}{2}$

$0 = - 20 + B + D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Разделим $20$ на $2$ .

$D = 10$

$0 = - 20 + B + D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$D = 10$

$0 = - 20 + B + D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$D = 10$

$0 = - 20 + B + D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$D = 10$

$0 = - 20 + B + D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

Этап 3.5

Заменим все вхождения $D$ на $10$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Заменим все вхождения $D$ в $0 = - 20 + B + D$ на $10$ .

$0 = - 20 + B + 10$

$D = 10$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

Этап 3.5.2

Упростим $0 = - 20 + B + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Избавимся от скобок.

$0 = - 20 + B + 10$

$D = 10$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$0 = - 20 + B + 10$

$D = 10$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

Этап 3.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Добавим $- 20$ и $10$ .

$0 = B - 10$

$D = 10$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$0 = B - 10$

$D = 10$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$0 = B - 10$

$D = 10$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$0 = B - 10$

$D = 10$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

Этап 3.6

Решим относительно $B$ в $0 = B - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем уравнение в виде $B - 10 = 0$ .

$B - 10 = 0$

$D = 10$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$B = 10$

$D = 10$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$B = 10$

$D = 10$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

Этап 3.7

Решим систему уравнений.

$B = 10 D = 10 C = 4 A = - 5 F = 0$

Этап 3.8

Перечислим все решения.

$B = 10, D = 10, C = 4, A = - 5, F = 0$

Этап 4

Replace each of the partial fraction coefficients in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{D x + F}{2 x^{2} + 1}$ with the values found for $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , and $F$ .

$- \frac{5}{x} + \frac{10 x + 4}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{10 x + 0}{2 x^{2} + 1}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{- 5}{x} + \frac{(10) \cdot x + 4}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(10) \cdot x + 0}{2 x^{2} + 1}$

Этап 5.2

Умножим $10$ на $x$ .

$\frac{- 5}{x} + \frac{10 x + 4}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(10) \cdot x + 0}{2 x^{2} + 1}$

Этап 5.3

Добавим $(10) \cdot x$ и $0$ .

$\frac{- 5}{x} + \frac{10 x + 4}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{10 x}{2 x^{2} + 1}$