Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x}{(x + 2) (x + 5)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

Этап 1.2

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 5}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x + 2) (x + 5)$ .

$\frac{x (x + 2) (x + 5)}{(x + 2) (x + 5)} = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x + 2) (x + 5)}{(x + 2) (x + 5)} = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{A (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.6.1.2

Разделим $(A) (x + 5)$ на $1$ .

$x = (A) (x + 5) + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = A x + A \cdot 5 + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.6.3

Перенесем $5$ влево от $A$ .

$x = A x + 5 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.6.4

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = A x + 5 A + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Этап 1.6.4.2

Разделим $(B) (x + 2)$ на $1$ .

$x = A x + 5 A + (B) (x + 2)$

Этап 1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x = A x + 5 A + B x + B \cdot 2$

Этап 1.6.6

Перенесем $2$ влево от $B$ .

$x = A x + 5 A + B x + 2 B$

Этап 1.7

Перенесем $5 A$ .

$x = A x + B x + 5 A + 2 B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = 5 A + 2 B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$0 = 5 A + 2 B$

$1 = A + B$

$0 = 5 A + 2 B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = 5 A + 2 B$

Этап 3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - B$

$0 = 5 A + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 A + 2 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = 5 A + 2 B$ на $1 - B$ .

$0 = 5 (1 - B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $5 (1 - B) + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = 5 \cdot 1 + 5 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2.1.1.2

Умножим $5$ на $1$ .

$0 = 5 + 5 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$0 = 5 - 5 B + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 - 5 B + 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $- 5 B$ и $2 B$ .

$0 = 5 - 3 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 - 3 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 - 3 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 - 3 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $0 = 5 - 3 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $5 - 3 B = 0$ .

$5 - 3 B = 0$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- 3 B = - 5$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $- 3 B = - 5$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $- 3 B = - 5$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$B = \frac{5}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{3}$

$A = 1 - B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{5}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - B$ на $\frac{5}{3}$ .

$A = 1 - (\frac{5}{3})$

$B = \frac{5}{3}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $1 - (\frac{5}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A = \frac{3}{3} - \frac{5}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

Этап 3.4.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{3 - 5}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

Этап 3.4.2.1.3

Вычтем $5$ из $3$ .

$A = \frac{- 2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

Этап 3.4.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A = - \frac{2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

$A = - \frac{2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

$A = - \frac{2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

$A = - \frac{2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = - \frac{2}{3}, B = \frac{5}{3}$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 5}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- \frac{2}{3}}{x + 2} + \frac{\frac{5}{3}}{x + 5}$