Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + y^{2} - 10 x - 16 y = - 40$

Этап 1

Составим полный квадрат для $x^{2} - 10 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 10$

$c = 0$

Этап 1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $- 10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (1)}$

Этап 1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 5}{1}$

Этап 1.3.2.2.4

Разделим $- 5$ на $1$ .

$d = - 5$

Этап 1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{100}{4}$

Этап 1.4.2.1.3

Разделим $100$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Этап 1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $25$ .

$e = 0 - 25$

Этап 1.4.2.2

Вычтем $25$ из $0$ .

$e = - 25$

Этап 1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - 5)}^{2} - 25$ .

${(x - 5)}^{2} - 25$

Этап 2

Подставим ${(x - 5)}^{2} - 25$ вместо $x^{2} - 10 x$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - 10 x - 16 y = - 40$ .

${(x - 5)}^{2} - 25 + y^{2} - 16 y = - 40$

Этап 3

Перенесем $- 25$ в правую часть уравнения, прибавив $25$ к обеим частям.

${(x - 5)}^{2} + y^{2} - 16 y = - 40 + 25$

Этап 4

Составим полный квадрат для $y^{2} - 16 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 16$

$c = 0$

Этап 4.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 4.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $- 16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)}$

Этап 4.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 8}{1}$

Этап 4.3.2.2.4

Разделим $- 8$ на $1$ .

$d = - 8$

Этап 4.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Возведем $- 16$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 1}$

Этап 4.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{256}{4}$

Этап 4.4.2.1.3

Разделим $256$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Этап 4.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $64$ .

$e = 0 - 64$

Этап 4.4.2.2

Вычтем $64$ из $0$ .

$e = - 64$

Этап 4.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y - 8)}^{2} - 64$ .

${(y - 8)}^{2} - 64$

Этап 5

Подставим ${(y - 8)}^{2} - 64$ вместо $y^{2} - 16 y$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - 10 x - 16 y = - 40$ .

${(x - 5)}^{2} + {(y - 8)}^{2} - 64 = - 40 + 25$

Этап 6

Перенесем $- 64$ в правую часть уравнения, прибавив $64$ к обеим частям.

${(x - 5)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = - 40 + 25 + 64$

Этап 7

Упростим $- 40 + 25 + 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $- 40$ и $25$ .

${(x - 5)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = - 15 + 64$

Этап 7.2

Добавим $- 15$ и $64$ .

${(x - 5)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 49$

Этап 8

Это формула окружности. Используем эту формулу для определения центра и радиуса окружности.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Этап 9

Сопоставим параметры окружности со значениями в стандартной форме. Переменная $r$ представляет радиус окружности, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$r = 7$

$h = 5$

$k = 8$

Этап 10

Центр окружности находится в точке $(h, k)$ .

Центр: $(5, 8)$

Этап 11

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа окружности.

Центр: $(5, 8)$

Радиус: $7$

Этап 12