Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \ln (20 - x - x^{2})$

Этап 1

Зададим аргумент в $\ln (20 - x - x^{2})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$20 - x - x^{2} > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$20 - x - x^{2} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $20 - x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перенесем $20$ .

$- x - x^{2} + 20 = 0$

Этап 2.2.1.1.2

Изменим порядок $- x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} - x + 20 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - x + 20 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$- (x^{2}) - (x) + 20 = 0$

Этап 2.2.1.4

Перепишем $20$ в виде $- 1 (- 20)$ .

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 20 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (x)$ .

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 20 = 0$

Этап 2.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + x) - 1 (- 20)$ .

$- (x^{2} + x - 20) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $x^{2} + x - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $1$ .

$- 4, 5$

Этап 2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 4) (x + 5)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 4) (x + 5) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.5

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 4) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 4, - 5$

Этап 2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < 4$

$x > 4$

Этап 2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$20 - (- 8) - {(- 8)}^{2} > 0$

Этап 2.8.1.3

Левая часть $- 36$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.8.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$20 - (0) - {(0)}^{2} > 0$

Этап 2.8.2.3

Левая часть $20$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 2.8.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$20 - (6) - {(6)}^{2} > 0$

Этап 2.8.3.3

Левая часть $- 22$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 5 < x < 4$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- 5, 4)$

Обозначение построения множества:

${x | - 5 < x < 4}$

Этап 4