Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$ не определено.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x^{2}$ .

$\frac{- (4 x^{2}) - 2 x + 1}{2 x + 3}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{- (4 x^{2}) - (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x^{2}) - (2 x)$ .

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x) + 1}{2 x + 3}$

Этап 5.1.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)}{2 x + 3}$

Этап 5.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x - 1)}{2 x + 3}$

Этап 5.1.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Перепишем $- (4 x^{2} + 2 x - 1)$ в виде $- 1 (4 x^{2} + 2 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (4 x^{2} + 2 x - 1)}{2 x + 3}$

Этап 5.1.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 x^{2} + 2 x - 1}{2 x + 3}$

Этап 5.2

Развернем $- (4 x^{2} + 2 x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Изменим знак $4 x^{2} + 2 x - 1$ на противоположный.

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x - 1)}{2 x + 3}$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x) + 1}{2 x + 3}$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- (4 x^{2}) - (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Этап 5.2.4

Избавимся от скобок.

$\frac{- 1 \cdot (4 x^{2}) - (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Этап 5.2.5

Избавимся от скобок.

$\frac{- 1 \cdot (4 x^{2}) - 1 \cdot (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Этап 5.2.6

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 1 \cdot (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Этап 5.2.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$

Этап 5.2.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$

Этап 5.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$3$

$4 x^{2}$

$2 x$

$1$

Этап 5.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				-	$2 x$
	$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$

Этап 5.5

Умножим новое частное на делитель.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$4 x^{2}$	-	$6 x$

Этап 5.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{2} - 6 x$ .

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 5.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$

Этап 5.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$

Этап 5.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$

Этап 5.10

Умножим новое частное на делитель.

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$6$

Этап 5.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x + 6$ .

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$6$

Этап 5.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$6$
							-	$5$

Этап 5.13

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$- 2 x + 2 - \frac{5}{2 x + 3}$

Этап 5.14

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = - 2 x + 2$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{3}{2}$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = - 2 x + 2$

Этап 7