Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{2 n - 7} = - 2 - \sqrt{9 - n}$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 n - 7}}^{2} = {(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 n - 7}$ в виде ${(2 n - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 n - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(2 n - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 n - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 n - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 n - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 n - 7)}^{1} = {(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$2 n - 7 = {(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(- 2 - \sqrt{9 - n})}^{2}$ в виде $(- 2 - \sqrt{9 - n}) (- 2 - \sqrt{9 - n})$ .

$2 n - 7 = (- 2 - \sqrt{9 - n}) (- 2 - \sqrt{9 - n})$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(- 2 - \sqrt{9 - n}) (- 2 - \sqrt{9 - n})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 n - 7 = - 2 (- 2 - \sqrt{9 - n}) - \sqrt{9 - n} (- 2 - \sqrt{9 - n})$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 n - 7 = - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{9 - n}) - \sqrt{9 - n} (- 2 - \sqrt{9 - n})$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 n - 7 = - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{9 - n}) - \sqrt{9 - n} \cdot - 2 - \sqrt{9 - n} (- \sqrt{9 - n})$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$2 n - 7 = 4 - 2 (- \sqrt{9 - n}) - \sqrt{9 - n} \cdot - 2 - \sqrt{9 - n} (- \sqrt{9 - n})$

Этап 2.3.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} - \sqrt{9 - n} \cdot - 2 - \sqrt{9 - n} (- \sqrt{9 - n})$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} - \sqrt{9 - n} (- \sqrt{9 - n})$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $- \sqrt{9 - n} (- \sqrt{9 - n})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + 1 \sqrt{9 - n} \sqrt{9 - n}$

Этап 2.3.1.3.1.4.2

Умножим $\sqrt{9 - n}$ на $1$ .

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + \sqrt{9 - n} \sqrt{9 - n}$

Этап 2.3.1.3.1.4.3

Возведем $\sqrt{9 - n}$ в степень $1$ .

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {\sqrt{9 - n}}^{1} \sqrt{9 - n}$

Этап 2.3.1.3.1.4.4

Возведем $\sqrt{9 - n}$ в степень $1$ .

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {\sqrt{9 - n}}^{1} {\sqrt{9 - n}}^{1}$

Этап 2.3.1.3.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {\sqrt{9 - n}}^{1 + 1}$

Этап 2.3.1.3.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {\sqrt{9 - n}}^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{9 - n}}^{2}$ в виде $9 - n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{9 - n}$ в виде ${(9 - n)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {({(9 - n)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {(9 - n)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3.1.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {(9 - n)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {(9 - n)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + {(9 - n)}^{1}$

Этап 2.3.1.3.1.5.5

Упростим.

$2 n - 7 = 4 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} + 9 - n$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $4$ и $9$ .

$2 n - 7 = 13 + 2 \sqrt{9 - n} + 2 \sqrt{9 - n} - n$

Этап 2.3.1.3.3

Добавим $2 \sqrt{9 - n}$ и $2 \sqrt{9 - n}$ .

$2 n - 7 = 13 + 4 \sqrt{9 - n} - n$

Этап 3

Решим относительно $4 \sqrt{9 - n}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $13 + 4 \sqrt{9 - n} - n = 2 n - 7$ .

$13 + 4 \sqrt{9 - n} - n = 2 n - 7$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $4 \sqrt{9 - n}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $13$ из обеих частей уравнения.

$4 \sqrt{9 - n} - n = 2 n - 7 - 13$

Этап 3.2.2

Добавим $n$ к обеим частям уравнения.

$4 \sqrt{9 - n} = 2 n - 7 - 13 + n$

Этап 3.2.3

Добавим $2 n$ и $n$ .

$4 \sqrt{9 - n} = 3 n - 7 - 13$

Этап 3.2.4

Вычтем $13$ из $- 7$ .

$4 \sqrt{9 - n} = 3 n - 20$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(4 \sqrt{9 - n})}^{2} = {(3 n - 20)}^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{9 - n}$ в виде ${(9 - n)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(4 {(9 - n)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 n - 20)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(4 {(9 - n)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $4 {(9 - n)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{2} {({(9 - n)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 n - 20)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$16 {({(9 - n)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 n - 20)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(9 - n)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(9 - n)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 n - 20)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$16 {(9 - n)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 n - 20)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$16 {(9 - n)}^{1} = {(3 n - 20)}^{2}$

Этап 5.2.1.4

Упростим.

$16 (9 - n) = {(3 n - 20)}^{2}$

Этап 5.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$16 \cdot 9 + 16 (- n) = {(3 n - 20)}^{2}$

Этап 5.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.6.1

Умножим $16$ на $9$ .

$144 + 16 (- n) = {(3 n - 20)}^{2}$

Этап 5.2.1.6.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$144 - 16 n = {(3 n - 20)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим ${(3 n - 20)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перепишем ${(3 n - 20)}^{2}$ в виде $(3 n - 20) (3 n - 20)$ .

$144 - 16 n = (3 n - 20) (3 n - 20)$

Этап 5.3.1.2

Развернем $(3 n - 20) (3 n - 20)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$144 - 16 n = 3 n (3 n - 20) - 20 (3 n - 20)$

Этап 5.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$144 - 16 n = 3 n (3 n) + 3 n \cdot - 20 - 20 (3 n - 20)$

Этап 5.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$144 - 16 n = 3 n (3 n) + 3 n \cdot - 20 - 20 (3 n) - 20 \cdot - 20$

Этап 5.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$144 - 16 n = 3 \cdot 3 n \cdot n + 3 n \cdot - 20 - 20 (3 n) - 20 \cdot - 20$

Этап 5.3.1.3.1.2

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.2.1

Перенесем $n$ .

$144 - 16 n = 3 \cdot 3 (n \cdot n) + 3 n \cdot - 20 - 20 (3 n) - 20 \cdot - 20$

Этап 5.3.1.3.1.2.2

Умножим $n$ на $n$ .

$144 - 16 n = 3 \cdot 3 n^{2} + 3 n \cdot - 20 - 20 (3 n) - 20 \cdot - 20$

Этап 5.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$144 - 16 n = 9 n^{2} + 3 n \cdot - 20 - 20 (3 n) - 20 \cdot - 20$

Этап 5.3.1.3.1.4

Умножим $- 20$ на $3$ .

$144 - 16 n = 9 n^{2} - 60 n - 20 (3 n) - 20 \cdot - 20$

Этап 5.3.1.3.1.5

Умножим $3$ на $- 20$ .

$144 - 16 n = 9 n^{2} - 60 n - 60 n - 20 \cdot - 20$

Этап 5.3.1.3.1.6

Умножим $- 20$ на $- 20$ .

$144 - 16 n = 9 n^{2} - 60 n - 60 n + 400$

Этап 5.3.1.3.2

Вычтем $60 n$ из $- 60 n$ .

$144 - 16 n = 9 n^{2} - 120 n + 400$

Этап 6

Решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $n$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$9 n^{2} - 120 n + 400 = 144 - 16 n$

Этап 6.2

Перенесем все члены с $n$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $16 n$ к обеим частям уравнения.

$9 n^{2} - 120 n + 400 + 16 n = 144$

Этап 6.2.2

Добавим $- 120 n$ и $16 n$ .

$9 n^{2} - 104 n + 400 = 144$

Этап 6.3

Вычтем $144$ из обеих частей уравнения.

$9 n^{2} - 104 n + 400 - 144 = 0$

Этап 6.4

Вычтем $144$ из $400$ .

$9 n^{2} - 104 n + 256 = 0$

Этап 6.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot 256 = 2304$ , а сумма — $b = - 104$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Вынесем множитель $- 104$ из $- 104 n$ .

$9 n^{2} - 104 n + 256 = 0$

Этап 6.5.1.2

Запишем $- 104$ как $- 32$ плюс $- 72$

$9 n^{2} + (- 32 - 72) n + 256 = 0$

Этап 6.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 n^{2} - 32 n - 72 n + 256 = 0$

Этап 6.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(9 n^{2} - 32 n) - 72 n + 256 = 0$

Этап 6.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$n (9 n - 32) - 8 (9 n - 32) = 0$

Этап 6.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 n - 32$ .

$(9 n - 32) (n - 8) = 0$

Этап 6.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$9 n - 32 = 0$

$n - 8 = 0$

Этап 6.7

Приравняем $9 n - 32$ к $0$ , затем решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Приравняем $9 n - 32$ к $0$ .

$9 n - 32 = 0$

Этап 6.7.2

Решим $9 n - 32 = 0$ относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Добавим $32$ к обеим частям уравнения.

$9 n = 32$

Этап 6.7.2.2

Разделим каждый член $9 n = 32$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.1

Разделим каждый член $9 n = 32$ на $9$ .

$\frac{9 n}{9} = \frac{32}{9}$

Этап 6.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 n}{9} = \frac{32}{9}$

Этап 6.7.2.2.2.1.2

Разделим $n$ на $1$ .

$n = \frac{32}{9}$

Этап 6.8

Приравняем $n - 8$ к $0$ , затем решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Приравняем $n - 8$ к $0$ .

$n - 8 = 0$

Этап 6.8.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$n = 8$

Этап 6.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(9 n - 32) (n - 8) = 0$ верно.

$n = \frac{32}{9}, 8$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{2 n - 7} = - 2 - \sqrt{9 - n}$ истинным.

$Нет решения$