Основы мат. анализа Примеры

$0.25 (t) = \frac{t}{3 t^{2} + 1}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, 3 t^{2} + 1$

Этап 1.2

Избавимся от скобок.

$1, 3 t^{2} + 1$

Этап 1.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$3 t^{2} + 1$

Этап 2

Каждый член в $0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1}$ умножим на $3 t^{2} + 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1}$ на $3 t^{2} + 1$ .

$0.25 t (3 t^{2} + 1) = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0.25 t (3 t^{2}) + 0.25 t \cdot 1 = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

Этап 2.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$0.25 \cdot 3 t \cdot t^{2} + 0.25 t \cdot 1 = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $0.25$ на $1$ .

$0.25 \cdot 3 t \cdot t^{2} + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

Этап 2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Перенесем $t^{2}$ .

$0.25 \cdot 3 (t^{2} t) + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$0.25 \cdot 3 (t^{2} t^{1}) + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

Этап 2.2.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$0.25 \cdot 3 t^{2 + 1} + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

Этап 2.2.2.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$0.25 \cdot 3 t^{3} + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

Этап 2.2.2.2

Умножим $0.25$ на $3$ .

$0.75 t^{3} + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $3 t^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$0.75 t^{3} + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$0.75 t^{3} + 0.25 t = t$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $t$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $t$ из обеих частей уравнения.

$0.75 t^{3} + 0.25 t - t = 0$

Этап 3.1.2

Вычтем $t$ из $0.25 t$ .

$0.75 t^{3} - 0.75 t = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $0.75 t$ из $0.75 t^{3} - 0.75 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $0.75 t$ из $0.75 t^{3}$ .

$0.75 t (t^{2}) - 0.75 t = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $0.75 t$ из $- 0.75 t$ .

$0.75 t (t^{2}) + 0.75 t (- 1) = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $0.75 t$ из $0.75 t (t^{2}) + 0.75 t (- 1)$ .

$0.75 t (t^{2} - 1) = 0$

Этап 3.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$0.75 t (t^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 3.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = t$ и $b = 1$ .

$0.75 t ((t + 1) (t - 1)) = 0$

Этап 3.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$0.75 t (t + 1) (t - 1) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$t = 0$

$t + 1 = 0$

$t - 1 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $t$ к $0$ .

$t = 0$

Этап 3.5

Приравняем $t + 1$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $t + 1$ к $0$ .

$t + 1 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$t = - 1$

Этап 3.6

Приравняем $t - 1$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $t - 1$ к $0$ .

$t - 1 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$t = 1$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $0.75 t (t + 1) (t - 1) = 0$ верно.

$t = 0, - 1, 1$