Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt[5]{x^{6}}$

Этап 1

Перепишем $\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x^{6}}]$ в виде $\frac{d}{d x} [x \sqrt[5]{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $x^{5}$ за скобки.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x^{5} x}]$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt[5]{x}]$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{5}}]$

Этап 3

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{5}}]$

Этап 3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{5}}]$

Этап 3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{5} + \frac{1}{5}}]$

Этап 3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5 + 1}{5}}]$

Этап 3.4

Добавим $5$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{5}}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{6}{5}$ .

$\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1}$

Этап 5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Этап 6

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6}{5} x^{\frac{6 - 1 \cdot 5}{5}}$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{6}{5} x^{\frac{6 - 5}{5}}$

Этап 8.2

Вычтем $5$ из $6$ .

$\frac{6}{5} x^{\frac{1}{5}}$

Этап 9

Объединим $\frac{6}{5}$ и $x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}$