Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 16 x + 4 y - 16 = 0$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$2 x^{2} + 2 {(0)}^{2} - 16 x + 4 (0) - 16 = 0$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим $2 x^{2} + 2 {(0)}^{2} - 16 x + 4 (0) - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot 0 - 16 x + 4 (0) - 16 = 0$

Этап 1.2.1.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$2 x^{2} + 0 - 16 x + 4 (0) - 16 = 0$

Этап 1.2.1.1.3

Умножим $4$ на $0$ .

$2 x^{2} + 0 - 16 x + 0 - 16 = 0$

Этап 1.2.1.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{2} + 0 - 16 x + 0 - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Добавим $2 x^{2}$ и $0$ .

$2 x^{2} - 16 x + 0 - 16 = 0$

Этап 1.2.1.2.2

Добавим $2 x^{2} - 16 x$ и $0$ .

$2 x^{2} - 16 x - 16 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} - 16 x - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 16 x - 16 = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 16 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- 8 x) - 16 = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $2$ из $- 16$ .

$2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot - 8 = 0$

Этап 1.2.2.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 (- 8 x)$ .

$2 (x^{2} - 8 x) + 2 \cdot - 8 = 0$

Этап 1.2.2.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} - 8 x) + 2 \cdot - 8$ .

$2 (x^{2} - 8 x - 8) = 0$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $2 (x^{2} - 8 x - 8) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $2 (x^{2} - 8 x - 8) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 8 x - 8)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x^{2} - 8 x - 8)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $x^{2} - 8 x - 8$ на $1$ .

$x^{2} - 8 x - 8 = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x^{2} - 8 x - 8 = 0$

Этап 1.2.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 8$ и $c = - 8$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 8$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.3

Добавим $64$ и $32$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.4

Перепишем $96$ в виде $4^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $96$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{8 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$

Этап 1.2.6.3

Упростим $\frac{8 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 4 \pm 2 \sqrt{6}$

Этап 1.2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 8$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.3

Добавим $64$ и $32$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.4

Перепишем $96$ в виде $4^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $96$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{8 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$

Этап 1.2.7.3

Упростим $\frac{8 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 4 \pm 2 \sqrt{6}$

Этап 1.2.7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{6}$

Этап 1.2.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.8.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 8$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.8.1.3

Добавим $64$ и $32$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.8.1.4

Перепишем $96$ в виде $4^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $96$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.8.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{8 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$

Этап 1.2.8.3

Упростим $\frac{8 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 4 \pm 2 \sqrt{6}$

Этап 1.2.8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 4 - 2 \sqrt{6}$

Этап 1.2.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 4 + 2 \sqrt{6}, 4 - 2 \sqrt{6}$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(4 + 2 \sqrt{6}, 0), (4 - 2 \sqrt{6}, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$2 {(0)}^{2} + 2 y^{2} - 16 \cdot 0 + 4 y - 16 = 0$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $2 {(0)}^{2} + 2 y^{2} - 16 \cdot 0 + 4 y - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 \cdot 0 + 2 y^{2} - 16 \cdot 0 + 4 y - 16 = 0$

Этап 2.2.1.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$0 + 2 y^{2} - 16 \cdot 0 + 4 y - 16 = 0$

Этап 2.2.1.1.3

Умножим $- 16$ на $0$ .

$0 + 2 y^{2} + 0 + 4 y - 16 = 0$

Этап 2.2.1.2

Объединим противоположные члены в $0 + 2 y^{2} + 0 + 4 y - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Добавим $0$ и $2 y^{2}$ .

$2 y^{2} + 0 + 4 y - 16 = 0$

Этап 2.2.1.2.2

Добавим $2 y^{2}$ и $0$ .

$2 y^{2} + 4 y - 16 = 0$

Этап 2.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y^{2} + 4 y - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y^{2}$ .

$2 (y^{2}) + 4 y - 16 = 0$

Этап 2.2.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4 y$ .

$2 (y^{2}) + 2 (2 y) - 16 = 0$

Этап 2.2.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 16$ .

$2 y^{2} + 2 (2 y) + 2 \cdot - 8 = 0$

Этап 2.2.2.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 y^{2} + 2 (2 y)$ .

$2 (y^{2} + 2 y) + 2 \cdot - 8 = 0$

Этап 2.2.2.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (y^{2} + 2 y) + 2 \cdot - 8$ .

$2 (y^{2} + 2 y - 8) = 0$

Этап 2.2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Разложим $y^{2} + 2 y - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $2$ .

$- 2, 4$

Этап 2.2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 ((y - 2) (y + 4)) = 0$

Этап 2.2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (y - 2) (y + 4) = 0$

Этап 2.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 2 = 0$

$y + 4 = 0$

Этап 2.2.4

Приравняем $y - 2$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Приравняем $y - 2$ к $0$ .

$y - 2 = 0$

Этап 2.2.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = 2$

Этап 2.2.5

Приравняем $y + 4$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Приравняем $y + 4$ к $0$ .

$y + 4 = 0$

Этап 2.2.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$y = - 4$

Этап 2.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (y - 2) (y + 4) = 0$ верно.

$y = 2, - 4$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 2), (0, - 4)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(4 + 2 \sqrt{6}, 0), (4 - 2 \sqrt{6}, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 2), (0, - 4)$

Этап 4