Основы мат. анализа Примеры

$2 y^{2} + 12 y - x + 2 = 0$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2

Подставим значения $a = 2$ , $b = 12$ и $c = - x + 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- x + 2))}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (- x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (- x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 (- x) - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.4

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 8 x - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.5

Умножим $- 8$ на $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 8 x - 16}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.6

Вычтем $16$ из $144$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 x + 128}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.7

Вынесем множитель $8$ из $8 x + 128$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.7.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (x) + 128}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.7.2

Вынесем множитель $8$ из $128$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 16}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.7.3

Вынесем множитель $8$ из $8 x + 8 \cdot 16$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (x + 16)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.8

Перепишем $8 (x + 16)$ в виде $2^{2} \cdot (2 (x + 4^{2}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (2) (x + 16)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 16))}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.8.3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.8.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 4^{2})}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.1.10

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 16)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 16)}}{4}$

Этап 1.3.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 16)}}{4}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Этап 1.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (- x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (- x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 (- x) - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.4

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 8 x - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.5

Умножим $- 8$ на $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 8 x - 16}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.6

Вычтем $16$ из $144$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 x + 128}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.7

Вынесем множитель $8$ из $8 x + 128$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.7.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (x) + 128}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.7.2

Вынесем множитель $8$ из $128$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 16}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.7.3

Вынесем множитель $8$ из $8 x + 8 \cdot 16$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (x + 16)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.8

Перепишем $8 (x + 16)$ в виде $2^{2} \cdot (2 (x + 4^{2}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (2) (x + 16)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 16))}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.8.3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.8.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 4^{2})}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.1.10

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 16)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 16)}}{4}$

Этап 1.4.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 16)}}{4}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Этап 1.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{- 6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Этап 1.4.5

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Этап 1.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{2 (x + 16)}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - 1 (- \sqrt{2 (x + 16)})}{2}$

Этап 1.4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (6) - 1 (- \sqrt{2 (x + 16)})$ .

$y = \frac{- 1 (6 - \sqrt{2 (x + 16)})}{2}$

Этап 1.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Этап 1.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (- x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (- x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 (- x) - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.4

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 8 x - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.5

Умножим $- 8$ на $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 8 x - 16}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.6

Вычтем $16$ из $144$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 x + 128}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.7

Вынесем множитель $8$ из $8 x + 128$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.7.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (x) + 128}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.7.2

Вынесем множитель $8$ из $128$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 16}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.7.3

Вынесем множитель $8$ из $8 x + 8 \cdot 16$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (x + 16)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.8

Перепишем $8 (x + 16)$ в виде $2^{2} \cdot (2 (x + 4^{2}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (2) (x + 16)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 16))}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.8.3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.8.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 4^{2})}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.1.10

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 16)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 16)}}{4}$

Этап 1.5.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 16)}}{4}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Этап 1.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{- 6 - \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Этап 1.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 6 - \sqrt{2 (x + 16)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Этап 1.5.5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{2 (x + 16)}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - (\sqrt{2 (x + 16)})}{2}$

Этап 1.5.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (6) - (\sqrt{2 (x + 16)})$ .

$y = \frac{- 1 (6 + \sqrt{2 (x + 16)})}{2}$

Этап 1.5.5.4

Перепишем $- 1 (6 + \sqrt{2 (x + 16)})$ в виде $- (6 + \sqrt{2 (x + 16)})$ .

$y = \frac{- (6 + \sqrt{2 (x + 16)})}{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Этап 1.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Этап 2

Чтобы записать многочлен в стандартной форме, упростим его, а затем расположим члены в порядке убывания.

$y = a x^{2} + b x + c$

Этап 3

Разобьем дробь $\frac{6 - \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$ на две дроби.

$y = - (\frac{6}{2} + \frac{- \sqrt{2 (x + 16)}}{2})$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим $6$ на $2$ .

$y = - (3 + \frac{- \sqrt{2 (x + 16)}}{2})$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Этап 4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - (3 - \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2})$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - (3 - \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2})$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Этап 5

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 1 \cdot 3 + \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = - 3 + \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - 3 + \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Этап 6

Разобьем дробь $\frac{6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$ на две дроби.

$y = - 3 + \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - (\frac{6}{2} + \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2})$

Этап 7

Разделим $6$ на $2$ .

$y = - 3 + \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - (3 + \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2})$

Этап 8

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 3 + \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - 1 \cdot 3 - \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Этап 9

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = - 3 + \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - 3 - \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Этап 10

Изменим порядок членов.

$y = - 3 + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (x + 16)}$

$y = - 3 - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (x + 16)})$

Этап 11

Избавимся от скобок.

$y = - 3 + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (x + 16)}$

$y = - 3 - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (x + 16)}$

Этап 12