Основы мат. анализа Примеры

$3 y^{2} - 2 y + x + 1 = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $3 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y + x + 1 = - 3 y^{2}$

Этап 1.1.2

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$x + 1 = - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 1.1.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3 y^{2} + 2 y - 1$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- 3 y^{2} + 2 y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 3$

$b = 2$

$c = - 1$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{1}{- 3}$

Этап 1.2.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{1}{3}$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 3}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e = - 1 - \frac{4}{4 \cdot - 3}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 3$ .

$e = - 1 - \frac{4}{- 12}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ и $- 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$e = - 1 - \frac{4 (1)}{- 12}$

Этап 1.2.4.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 3}$

Этап 1.2.4.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 3}$

Этап 1.2.4.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e = - 1 - \frac{1}{- 3}$

Этап 1.2.4.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - 1 - - \frac{1}{3}$

Этап 1.2.4.2.1.5

Умножим $- - \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e = - 1 + 1 (\frac{1}{3})$

Этап 1.2.4.2.1.5.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$e = - 1 + \frac{1}{3}$

Этап 1.2.4.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$e = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

Этап 1.2.4.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$e = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

Этап 1.2.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

Этап 1.2.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$e = \frac{- 3 + 1}{3}$

Этап 1.2.4.2.5.2

Добавим $- 3$ и $1$ .

$e = \frac{- 2}{3}$

Этап 1.2.4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - \frac{2}{3}$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{2}{3}$ .

$- 3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{2}{3}$

Этап 1.3

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = - 3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{2}{3}$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 3$

$h = - \frac{2}{3}$

$k = \frac{1}{3}$

Этап 3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены влево.

Обращены влево

Этап 4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $4$ на $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Этап 5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{12}$

Этап 6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{3}{4}, \frac{1}{3})$

Этап 7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = \frac{1}{3}$

Этап 8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = - \frac{7}{12}$

Этап 9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление: обращены влево

Вершина: $(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

Фокус: $(- \frac{3}{4}, \frac{1}{3})$

Ось симметрии: $y = \frac{1}{3}$

Директриса: $x = - \frac{7}{12}$

Этап 10