Основы мат. анализа Примеры

${(x + 2 y)}^{6}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(x + 2 y)}^{6}$ $n = 6$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $7$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $x$ и $b$ $2 y$ в выражение.

$1 {(x)}^{6} {(2 y)}^{0} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(x)}^{6}$ на $1$ .

${(x)}^{6} {(2 y)}^{0} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $2 y$ .

$x^{6} (2^{0} y^{0}) + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2^{0} x^{6} y^{0} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 x^{6} y^{0} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.5

Умножим $x^{6}$ на $1$ .

$x^{6} y^{0} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{6} \cdot 1 + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.7

Умножим $x^{6}$ на $1$ .

$x^{6} + 6 {(x)}^{5} {(2 y)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.8

Упростим.

$x^{6} + 6 x^{5} (2 y) + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{6} + 6 \cdot 2 x^{5} y + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.10

Умножим $6$ на $2$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 15 {(x)}^{4} {(2 y)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.11

Применим правило умножения к $2 y$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 15 x^{4} (2^{2} y^{2}) + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{6} + 12 x^{5} y + 15 \cdot 2^{2} x^{4} y^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.13

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 15 \cdot 4 x^{4} y^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.14

Умножим $15$ на $4$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 20 {(x)}^{3} {(2 y)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.15

Применим правило умножения к $2 y$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 20 x^{3} (2^{3} y^{3}) + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.16

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 20 \cdot 2^{3} x^{3} y^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.17

Возведем $2$ в степень $3$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 20 \cdot 8 x^{3} y^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.18

Умножим $20$ на $8$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 15 {(x)}^{2} {(2 y)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.19

Применим правило умножения к $2 y$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 15 x^{2} (2^{4} y^{4}) + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.20

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 15 \cdot 2^{4} x^{2} y^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.21

Возведем $2$ в степень $4$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 15 \cdot 16 x^{2} y^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.22

Умножим $15$ на $16$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 6 {(x)}^{1} {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.23

Упростим.

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 6 x {(2 y)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.24

Применим правило умножения к $2 y$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 6 x (2^{5} y^{5}) + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.25

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 6 \cdot 2^{5} x y^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.26

Возведем $2$ в степень $5$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 6 \cdot 32 x y^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.27

Умножим $6$ на $32$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.28

Умножим ${(x)}^{0}$ на $1$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + {(x)}^{0} {(2 y)}^{6}$

Этап 4.29

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + 1 {(2 y)}^{6}$

Этап 4.30

Умножим ${(2 y)}^{6}$ на $1$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + {(2 y)}^{6}$

Этап 4.31

Применим правило умножения к $2 y$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + 2^{6} y^{6}$

Этап 4.32

Возведем $2$ в степень $6$ .

$x^{6} + 12 x^{5} y + 60 x^{4} y^{2} + 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} + 192 x y^{5} + 64 y^{6}$