Основы мат. анализа Примеры

${(x - 2 y)}^{4}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(x - 2 y)}^{4}$ $n = 4$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $5$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ .

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $x$ и $b$ $- 2 y$ в выражение.

$1 {(x)}^{4} {(- 2 y)}^{0} + 4 {(x)}^{3} {(- 2 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 2 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 2 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 2 y)}^{4}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(x)}^{4}$ на $1$ .

${(x)}^{4} {(- 2 y)}^{0} + 4 {(x)}^{3} {(- 2 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 2 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 2 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 2 y)}^{4}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $- 2 y$ .

$x^{4} ({(- 2)}^{0} y^{0}) + 4 {(x)}^{3} {(- 2 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 2 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 2 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 2 y)}^{4}$

Этап 4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

${(- 2)}^{0} x^{4} y^{0} + 4 {(x)}^{3} {(- 2 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 2 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 2 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 2 y)}^{4}$

Этап 4.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 x^{4} y^{0} + 4 {(x)}^{3} {(- 2 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 2 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 2 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 2 y)}^{4}$

Этап 4.5

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} y^{0} + 4 {(x)}^{3} {(- 2 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 2 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 2 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 2 y)}^{4}$

Этап 4.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{4} \cdot 1 + 4 {(x)}^{3} {(- 2 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 2 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 2 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 2 y)}^{4}$

Этап 4.7

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} + 4 {(x)}^{3} {(- 2 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(- 2 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 2 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 2 y)}^{4}$

Этап 4.8

Упростим.

$x^{4} + 4 x^{3} (- 2 y) + 6 {(x)}^{2} {(- 2 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 2 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 2 y)}^{4}$

Этап 4.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{4} + 4 \cdot - 2 x^{3} y + 6 {(x)}^{2} {(- 2 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 2 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 2 y)}^{4}$

Этап 4.10

Умножим $4$ на $- 2$ .

$x^{4} - 8 x^{3} y + 6 {(x)}^{2} {(- 2 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 2 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 2 y)}^{4}$

Этап 4.11

Применим правило умножения к $- 2 y$ .

$x^{4} - 8 x^{3} y + 6 x^{2} ({(- 2)}^{2} y^{2}) + 4 {(x)}^{1} {(- 2 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 2 y)}^{4}$

Этап 4.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{4} - 8 x^{3} y + 6 \cdot {(- 2)}^{2} x^{2} y^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 2 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 2 y)}^{4}$

Этап 4.13

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x^{4} - 8 x^{3} y + 6 \cdot 4 x^{2} y^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 2 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 2 y)}^{4}$

Этап 4.14

Умножим $6$ на $4$ .

$x^{4} - 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 4 {(x)}^{1} {(- 2 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 2 y)}^{4}$

Этап 4.15

Упростим.

$x^{4} - 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 4 x {(- 2 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 2 y)}^{4}$

Этап 4.16

Применим правило умножения к $- 2 y$ .

$x^{4} - 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 4 x ({(- 2)}^{3} y^{3}) + 1 {(x)}^{0} {(- 2 y)}^{4}$

Этап 4.17

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{4} - 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(- 2)}^{3} x y^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 2 y)}^{4}$

Этап 4.18

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$x^{4} - 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 4 \cdot - 8 x y^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 2 y)}^{4}$

Этап 4.19

Умножим $4$ на $- 8$ .

$x^{4} - 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} - 32 x y^{3} + 1 {(x)}^{0} {(- 2 y)}^{4}$

Этап 4.20

Умножим ${(x)}^{0}$ на $1$ .

$x^{4} - 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} - 32 x y^{3} + {(x)}^{0} {(- 2 y)}^{4}$

Этап 4.21

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{4} - 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} - 32 x y^{3} + 1 {(- 2 y)}^{4}$

Этап 4.22

Умножим ${(- 2 y)}^{4}$ на $1$ .

$x^{4} - 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} - 32 x y^{3} + {(- 2 y)}^{4}$

Этап 4.23

Применим правило умножения к $- 2 y$ .

$x^{4} - 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} - 32 x y^{3} + {(- 2)}^{4} y^{4}$

Этап 4.24

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$x^{4} - 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} - 32 x y^{3} + 16 y^{4}$