Основы мат. анализа Примеры

$x \leq 15 - 2 x^{2}$

Этап 1

Добавим $2 x^{2}$ к обеим частям неравенства.

$x + 2 x^{2} \leq 15$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x + 2 x^{2} = 15$

Этап 3

Вычтем $15$ из обеих частей уравнения.

$x + 2 x^{2} - 15 = 0$

Этап 4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$u + 2 u^{2} - 15 = 0$

Этап 4.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Изменим порядок членов.

$2 u^{2} + u - 15 = 0$

Этап 4.2.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим на $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 15 = 0$

Этап 4.2.2.2

Запишем $1$ как $- 5$ плюс $6$

$2 u^{2} + (- 5 + 6) u - 15 = 0$

Этап 4.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} - 5 u + 6 u - 15 = 0$

Этап 4.2.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 u^{2} - 5 u) + 6 u - 15 = 0$

Этап 4.2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (2 u - 5) + 3 (2 u - 5) = 0$

Этап 4.2.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 5$ .

$(2 u - 5) (u + 3) = 0$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(2 x - 5) (x + 3) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 6

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Этап 6.2

Решим $2 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 5$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Этап 7

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 5) (x + 3) = 0$ верно.

$x = \frac{5}{2}, - 3$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$- 6 \leq 15 - 2 {(- 6)}^{2}$

Этап 10.1.3

Левая часть $- 6$ больше правой части $- 57$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$0 \leq 15 - 2 {(0)}^{2}$

Этап 10.2.3

Левая часть $0$ меньше правой части $15$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$5 \leq 15 - 2 {(5)}^{2}$

Этап 10.3.3

Левая часть $5$ больше правой части $- 35$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < \frac{5}{2}$ Истина

$x > \frac{5}{2}$ Ложь

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < \frac{5}{2}$ Истина

$x > \frac{5}{2}$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 3 \leq x \leq \frac{5}{2}$

Этап 12

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$[- 3, \frac{5}{2}]$

Этап 13