Основы мат. анализа Примеры

$x > - \frac{3}{x - 4}$

Этап 1

Добавим $\frac{3}{x - 4}$ к обеим частям неравенства.

$x + \frac{3}{x - 4} > 0$

Этап 2

Упростим $x + \frac{3}{x - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x (x - 4)}{x - 4} + \frac{3}{x - 4} > 0$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (x - 4) + 3}{x - 4} > 0$

Этап 2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4 + 3}{x - 4} > 0$

Этап 2.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 4 + 3}{x - 4} > 0$

Этап 2.3.3

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 \cdot x + 3}{x - 4} > 0$

Этап 2.3.4

Разложим $x^{2} - 4 x + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $- 4$ .

$- 3, - 1$

Этап 2.3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x - 4} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 4

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 6

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 3$

$x = 1$

$x = 4$

Этап 8

Объединим решения.

$x = 3, 1, 4$

Этап 9

Найдем область определения $\frac{(x - 3) (x - 1)}{x - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x - 3) (x - 1)}{x - 4}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 4 = 0$

Этап 9.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 1$

$1 < x < 3$

$3 < x < 4$

$x > 4$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$0 > - \frac{3}{(0) - 4}$

Этап 11.1.3

Левая часть $0$ не больше правой части $0.75$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $1 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$2 > - \frac{3}{(2) - 4}$

Этап 11.2.3

Левая часть $2$ больше правой части $1.5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $3 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $3 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3.5$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $3.5$ в исходном неравенстве.

$3.5 > - \frac{3}{(3.5) - 4}$

Этап 11.3.3

Левая часть $3.5$ не больше правой части $6$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$6 > - \frac{3}{(6) - 4}$

Этап 11.4.3

Левая часть $6$ больше правой части $- 1.5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 1$ Ложь

$1 < x < 3$ Истина

$3 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

$x < 1$ Ложь

$1 < x < 3$ Истина

$3 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$1 < x < 3$ или $x > 4$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(1, 3) \cup (4, \infty)$

Этап 14