Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{3} - 5 x^{2} \leq - 4 x + 21$

Этап 1

Добавим $4 x$ к обеим частям неравенства.

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x \leq 21$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x = 21$

Этап 3

Вычтем $21$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21 = 0$

Этап 4

Разложим $2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 21, \pm 3, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 4.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 21, \pm 10.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 7, \pm 3.5$

Этап 4.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$2 \cdot 3^{3} - 5 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 21$

Этап 4.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$2 \cdot 27 - 5 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 21$

Этап 4.3.3

Умножим $2$ на $27$ .

$54 - 5 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 21$

Этап 4.3.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$54 - 5 \cdot 9 + 4 \cdot 3 - 21$

Этап 4.3.5

Умножим $- 5$ на $9$ .

$54 - 45 + 4 \cdot 3 - 21$

Этап 4.3.6

Вычтем $45$ из $54$ .

$9 + 4 \cdot 3 - 21$

Этап 4.3.7

Умножим $4$ на $3$ .

$9 + 12 - 21$

Этап 4.3.8

Добавим $9$ и $12$ .

$21 - 21$

Этап 4.3.9

Вычтем $21$ из $21$ .

$0$

Этап 4.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21}{x - 3}$

Этап 4.5

Разделим $2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$21$

Этап 4.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$

Этап 4.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			+	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Этап 4.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - 6 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Этап 4.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Этап 4.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$

Этап 4.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$

Этап 4.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Этап 4.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} - 3 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$

Этап 4.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$

Этап 4.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$

Этап 4.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $7 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$

Этап 4.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$
							+	$7 x$	-	$21$

Этап 4.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $7 x - 21$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$
							-	$7 x$	+	$21$

Этап 4.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$
							-	$7 x$	+	$21$
										$0$

Этап 4.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} + x + 7$

Этап 4.6

Запишем $2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21$ в виде набора множителей.

$(x - 3) (2 x^{2} + x + 7) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x^{2} + x + 7 = 0$

Этап 6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 7

Приравняем $2 x^{2} + x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $2 x^{2} + x + 7$ к $0$ .

$2 x^{2} + x + 7 = 0$

Этап 7.2

Решим $2 x^{2} + x + 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.2.2

Подставим значения $a = 2$ , $b = 1$ и $c = 7$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 7)}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.3.1.2.2

Умножим $- 8$ на $7$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 56}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.3.1.3

Вычтем $56$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 55}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.3.1.4

Перепишем $- 55$ в виде $- 1 (55)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 55}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (55)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{4}$

Этап 7.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.4.1.2.2

Умножим $- 8$ на $7$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 56}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.4.1.3

Вычтем $56$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 55}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.4.1.4

Перепишем $- 55$ в виде $- 1 (55)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 55}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (55)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{4}$

Этап 7.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{55}}{4}$

Этап 7.2.4.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{55}}{4}$

Этап 7.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{55})}{4}$

Этап 7.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- i \sqrt{55})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{55})}{4}$

Этап 7.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{55}}{4}$

Этап 7.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.5.1.2.2

Умножим $- 8$ на $7$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 56}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.5.1.3

Вычтем $56$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 55}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.5.1.4

Перепишем $- 55$ в виде $- 1 (55)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 55}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (55)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{4}$

Этап 7.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{55}}{4}$

Этап 7.2.5.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{55}}{4}$

Этап 7.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{55})}{4}$

Этап 7.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (i \sqrt{55})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{55})}{4}$

Этап 7.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{55}}{4}$

Этап 7.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{55}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{55}}{4}$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (2 x^{2} + x + 7) = 0$ верно.

$x = 3, - \frac{1 - i \sqrt{55}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{55}}{4}$

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq 3$

Этап 10

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, 3]$

Этап 11