Основы мат. анализа Примеры

$3 x^{3} - 48 x < x^{2} - 16$

Этап 1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$3 x^{3} - 48 x - x^{2} < - 16$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$3 x^{3} - 48 x - x^{2} = - 16$

Этап 3

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{3} - 48 x - x^{2} + 16 = 0$

Этап 4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16 = 0$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{3} - x^{2}) - 48 x + 16 = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{2} (3 x - 1) - 16 (3 x - 1) = 0$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x^{2} - 16) = 0$

Этап 4.4

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$(3 x - 1) (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Этап 4.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$(3 x - 1) ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Этап 4.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(3 x - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 6

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 7

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 8

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 8.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{3}, - 4, 4$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < 4$

$x > 4$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$3 {(- 6)}^{3} - 48 \cdot - 6 < {(- 6)}^{2} - 16$

Этап 11.1.3

Левая часть $- 360$ меньше правой части $20$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$3 {(0)}^{3} - 48 \cdot 0 < {(0)}^{2} - 16$

Этап 11.2.3

Левая часть $0$ не меньше правой части $- 16$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $\frac{1}{3} < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{3} < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$3 {(2)}^{3} - 48 \cdot 2 < {(2)}^{2} - 16$

Этап 11.3.3

Левая часть $- 72$ меньше правой части $- 12$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$3 {(6)}^{3} - 48 \cdot 6 < {(6)}^{2} - 16$

Этап 11.4.3

Левая часть $360$ не меньше правой части $20$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Истина

$- 4 < x < \frac{1}{3}$ Ложь

$\frac{1}{3} < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < - 4$ Истина

$- 4 < x < \frac{1}{3}$ Ложь

$\frac{1}{3} < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 4$ или $\frac{1}{3} < x < 4$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 4) \cup (\frac{1}{3}, 4)$

Этап 14