Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - x - 20} \geq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} + 9 x + 20 = 0$

$x^{2} - x - 20 = 0$

Этап 2

Разложим $x^{2} + 9 x + 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $20$ , а сумма — $9$ .

$4, 5$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 4) (x + 5) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 4

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 5

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 4) (x + 5) = 0$ верно.

$x = - 4, - 5$

Этап 7

Разложим $x^{2} - x - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $- 1$ .

$- 5, 4$

Этап 7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Этап 8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 9

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 9.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 10

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 10.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 11

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 5, - 4$

Этап 12

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 4, - 5$

$x = 5, - 4$

Этап 13

Объединим решения.

$x = - 4, - 5, 5, - 4$

Этап 14

Найдем область определения $\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - x - 20}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - x - 20}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - x - 20 = 0$

Этап 14.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Разложим $x^{2} - x - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

$- 5, 4$

Этап 14.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Этап 14.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 14.2.3

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 14.2.3.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 14.2.4

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 14.2.4.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 14.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 5, - 4$

Этап 14.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 5) \cup (5, \infty)$

Этап 15

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 4$

$- 4 < x < 5$

$x > 5$

Этап 16

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 16.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 8)}^{2} + 9 (- 8) + 20}{{(- 8)}^{2} - (- 8) - 20} \geq 0$

Этап 16.1.3

Левая часть $0.\overline{230769}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 16.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4.5$

Этап 16.2.2

Заменим $x$ на $- 4.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 4.5)}^{2} + 9 (- 4.5) + 20}{{(- 4.5)}^{2} - (- 4.5) - 20} \geq 0$

Этап 16.2.3

Левая часть $- 0.05263157$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 16.3

Проверим значение на интервале $- 4 < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 16.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(0)}^{2} + 9 (0) + 20}{{(0)}^{2} - (0) - 20} \geq 0$

Этап 16.3.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 16.4

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 16.4.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(8)}^{2} + 9 (8) + 20}{{(8)}^{2} - (8) - 20} \geq 0$

Этап 16.4.3

Левая часть $4.\overline{3}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 16.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 5$ Ложь

$x > 5$ Истина

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 5$ Ложь

$x > 5$ Истина

Этап 17

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 5$ или $x > 5$

Этап 18

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 5] \cup (5, \infty)$

Этап 19