Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} - 16} < 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

$x^{2} - 16 = 0$

Этап 2

Разложим $x^{2} + 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $2$ .

$- 2, 4$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 2, - 4$

Этап 7

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 16$

Этап 8

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{16}$

Этап 9

Упростим $\pm \sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Этап 9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 4$

Этап 10

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4$

Этап 10.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4$

Этап 10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 4$

Этап 11

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 2, - 4$

$x = 4, - 4$

Этап 12

Объединим решения.

$x = 2, - 4, 4, - 4$

Этап 13

Найдем область определения $\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} - 16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} - 16}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 16 = 0$

Этап 13.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 16$

Этап 13.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{16}$

Этап 13.2.3

Упростим $\pm \sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Этап 13.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 4$

Этап 13.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4$

Этап 13.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4$

Этап 13.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 4$

Этап 13.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 14

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Этап 15

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 15.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 8}{{(- 6)}^{2} - 16} < 0$

Этап 15.1.3

Левая часть $0.8$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 15.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 15.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(0)}^{2} + 2 (0) - 8}{{(0)}^{2} - 16} < 0$

Этап 15.2.3

Левая часть $0.5$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 15.3

Проверим значение на интервале $2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 15.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(3)}^{2} + 2 (3) - 8}{{(3)}^{2} - 16} < 0$

Этап 15.3.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 15.4

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 15.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(6)}^{2} + 2 (6) - 8}{{(6)}^{2} - 16} < 0$

Этап 15.4.3

Левая часть $2$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 15.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 2$ Ложь

$2 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 2$ Ложь

$2 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 16

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$2 < x < 4$

Этап 17

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(2, 4)$

Этап 18