Основы мат. анализа Примеры

$\frac{49 x^{2} - 81}{x^{2} - 64} \leq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$49 x^{2} - 81 = 0$

$x^{2} - 64 = 0$

Этап 2

Добавим $81$ к обеим частям уравнения.

$49 x^{2} = 81$

Этап 3

Разделим каждый член $49 x^{2} = 81$ на $49$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $49 x^{2} = 81$ на $49$ .

$\frac{49 x^{2}}{49} = \frac{81}{49}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{49 x^{2}}{49} = \frac{81}{49}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{81}{49}$

Этап 4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{81}{49}}$

Этап 5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{81}{49}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{81}{49}}$ в виде $\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{49}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{49}}$

Этап 5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9^{2}}}{\sqrt{49}}$

Этап 5.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{9}{\sqrt{49}}$

Этап 5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$x = \pm \frac{9}{\sqrt{7^{2}}}$

Этап 5.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{9}{7}$

Этап 6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{9}{7}$

Этап 6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{9}{7}$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{9}{7}, - \frac{9}{7}$

Этап 7

Добавим $64$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 64$

Этап 8

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{64}$

Этап 9

Упростим $\pm \sqrt{64}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Этап 9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 8$

Этап 10

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 8$

Этап 10.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 8$

Этап 10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 8, - 8$

Этап 11

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = \frac{9}{7}, - \frac{9}{7}$

$x = 8, - 8$

Этап 12

Объединим решения.

$x = \frac{9}{7}, - \frac{9}{7}, 8, - 8$

Этап 13

Найдем область определения $\frac{49 x^{2} - 81}{x^{2} - 64}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Зададим знаменатель в $\frac{49 x^{2} - 81}{x^{2} - 64}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 64 = 0$

Этап 13.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $64$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 64$

Этап 13.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{64}$

Этап 13.2.3

Упростим $\pm \sqrt{64}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Этап 13.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 8$

Этап 13.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 8$

Этап 13.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 8$

Этап 13.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 8, - 8$

Этап 13.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 8) \cup (8, \infty)$

Этап 14

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 8$

$- 8 < x < - \frac{9}{7}$

$- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$

$\frac{9}{7} < x < 8$

$x > 8$

Этап 15

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Проверим значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 15.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

$\frac{49 {(- 10)}^{2} - 81}{{(- 10)}^{2} - 64} \leq 0$

Этап 15.1.3

Левая часть $133.86\overline{1}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 15.2

Проверим значение на интервале $- 8 < x < - \frac{9}{7}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Выберем значение на интервале $- 8 < x < - \frac{9}{7}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 5$

Этап 15.2.2

Заменим $x$ на $- 5$ в исходном неравенстве.

$\frac{49 {(- 5)}^{2} - 81}{{(- 5)}^{2} - 64} \leq 0$

Этап 15.2.3

Левая часть $- 29.\overline{3}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 15.3

Проверим значение на интервале $- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Выберем значение на интервале $- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 15.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{49 {(0)}^{2} - 81}{{(0)}^{2} - 64} \leq 0$

Этап 15.3.3

Левая часть $1.265625$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 15.4

Проверим значение на интервале $\frac{9}{7} < x < 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Выберем значение на интервале $\frac{9}{7} < x < 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 15.4.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\frac{49 {(5)}^{2} - 81}{{(5)}^{2} - 64} \leq 0$

Этап 15.4.3

Левая часть $- 29.\overline{3}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 15.5

Проверим значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Выберем значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 15.5.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$\frac{49 {(10)}^{2} - 81}{{(10)}^{2} - 64} \leq 0$

Этап 15.5.3

Левая часть $133.86\overline{1}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 15.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 8$ Ложь

$- 8 < x < - \frac{9}{7}$ Истина

$- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ Ложь

$\frac{9}{7} < x < 8$ Истина

$x > 8$ Ложь

$x < - 8$ Ложь

$- 8 < x < - \frac{9}{7}$ Истина

$- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ Ложь

$\frac{9}{7} < x < 8$ Истина

$x > 8$ Ложь

Этап 16

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 8 < x \leq - \frac{9}{7}$ или $\frac{9}{7} \leq x < 8$

Этап 17

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 8, - \frac{9}{7}] \cup [\frac{9}{7}, 8)$

Этап 18