Основы мат. анализа Примеры

$(- \frac{1}{5}, \frac{1}{3})$

Этап 1

Чтобы найти $\cos (θ)$ угла между осью x и прямой, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(- \frac{1}{5}, \frac{1}{3})$ , нарисуем треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$ , $(- \frac{1}{5}, 0)$ и $(- \frac{1}{5}, \frac{1}{3})$ .

Противоположное: $\frac{1}{3}$

Смежный: $- \frac{1}{5}$

Этап 2

Найдем гипотенузу, используя теорему Пифагора $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{5}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{5})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{5^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\sqrt{1 \frac{1^{2}}{5^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 2.3

Умножим $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ на $1$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 2.4

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{1}{5^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 2.5

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 2.6

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Этап 2.7

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{1}{3^{2}}}$

Этап 2.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{1}{9}}$

Этап 2.9

Чтобы записать $\frac{1}{25}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9}}$

Этап 2.10

Чтобы записать $\frac{1}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{25}{25}}$

Этап 2.11

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $225$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Умножим $\frac{1}{25}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{25 \cdot 9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{25}{25}}$

Этап 2.11.2

Умножим $25$ на $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{225} + \frac{1}{9} \cdot \frac{25}{25}}$

Этап 2.11.3

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{9}{225} + \frac{25}{9 \cdot 25}}$

Этап 2.11.4

Умножим $9$ на $25$ .

$\sqrt{\frac{9}{225} + \frac{25}{225}}$

Этап 2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{9 + 25}{225}}$

Этап 2.13

Добавим $9$ и $25$ .

$\sqrt{\frac{34}{225}}$

Этап 2.14

Перепишем $\sqrt{\frac{34}{225}}$ в виде $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{225}}$ .

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{225}}$

Этап 2.15

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Перепишем $225$ в виде $15^{2}$ .

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{15^{2}}}$

Этап 2.15.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{34}}{15}$

Этап 3

$\cos (θ) = \frac{Смежные}{Гипотенуза}$ , следовательно $\cos (θ) = \frac{- \frac{1}{5}}{\frac{\sqrt{34}}{15}}$ .

$\frac{- \frac{1}{5}}{\frac{\sqrt{34}}{15}}$

Этап 4

Упростим $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\cos (θ) = - \frac{1}{5} \cdot \frac{15}{\sqrt{34}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{5}$ в числитель.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{5} \cdot \frac{15}{\sqrt{34}}$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$\cos (θ) = \frac{- 1}{5} \cdot \frac{5 (3)}{\sqrt{34}}$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 3}{\sqrt{34}}$

Этап 4.2.4

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = - \frac{3}{\sqrt{34}}$

Этап 4.3

Умножим $\frac{3}{\sqrt{34}}$ на $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}})$

Этап 4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{34}}$ на $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Этап 4.4.2

Возведем $\sqrt{34}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Этап 4.4.3

Возведем $\sqrt{34}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Этап 4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}}$

Этап 4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}}$

Этап 4.4.6

Перепишем ${\sqrt{34}}^{2}$ в виде $34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{34}$ в виде $34^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}$

Этап 4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}$

Этап 5

Аппроксимируем результат.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34} \approx - 0.51449575$