Основы мат. анализа Примеры

$g (x) = 2 e^{x} + 6 e^{- x} - 7$

Этап 1

Приравняем $2 e^{x} + 6 e^{- x} - 7$ к $0$ .

$2 e^{x} + 6 e^{- x} - 7 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $e^{- x}$ в виде степенного выражения.

$2 e^{x} + 6 {(e^{x})}^{- 1} - 7 = 0$

Этап 2.2

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$2 u + 6 u^{- 1} - 7 = 0$

Этап 2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 u + 6 (\frac{1}{u}) - 7 = 0$

Этап 2.3.2

Объединим $6$ и $\frac{1}{u}$ .

$2 u + \frac{6}{u} - 7 = 0$

Этап 2.4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u, 1, 1$

Этап 2.4.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 2.4.2

Каждый член в $2 u + \frac{6}{u} - 7 = 0$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим каждый член $2 u + \frac{6}{u} - 7 = 0$ на $u$ .

$2 u \cdot u + \frac{6}{u} u - 7 u = 0 u$

Этап 2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1.1

Перенесем $u$ .

$2 (u \cdot u) + \frac{6}{u} u - 7 u = 0 u$

Этап 2.4.2.2.1.1.2

Умножим $u$ на $u$ .

$2 u^{2} + \frac{6}{u} u - 7 u = 0 u$

Этап 2.4.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 u^{2} + \frac{6}{u} u - 7 u = 0 u$

Этап 2.4.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$2 u^{2} + 6 - 7 u = 0 u$

Этап 2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Умножим $0$ на $u$ .

$2 u^{2} + 6 - 7 u = 0$

Этап 2.4.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Изменим порядок членов.

$2 u^{2} - 7 u + 6 = 0$

Этап 2.4.3.1.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 u$ .

$2 u^{2} - 7 u + 6 = 0$

Этап 2.4.3.1.2.2

Запишем $- 7$ как $- 3$ плюс $- 4$

$2 u^{2} + (- 3 - 4) u + 6 = 0$

Этап 2.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} - 3 u - 4 u + 6 = 0$

Этап 2.4.3.1.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 u^{2} - 3 u) - 4 u + 6 = 0$

Этап 2.4.3.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (2 u - 3) - 2 (2 u - 3) = 0$

Этап 2.4.3.1.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 3$ .

$(2 u - 3) (u - 2) = 0$

Этап 2.4.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 u - 3 = 0$

$u - 2 = 0$

Этап 2.4.3.3

Приравняем $2 u - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.1

Приравняем $2 u - 3$ к $0$ .

$2 u - 3 = 0$

Этап 2.4.3.3.2

Решим $2 u - 3 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 u = 3$

Этап 2.4.3.3.2.2

Разделим каждый член $2 u = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = 3$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 2.4.3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 2.4.3.3.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{3}{2}$

Этап 2.4.3.4

Приравняем $u - 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.4.1

Приравняем $u - 2$ к $0$ .

$u - 2 = 0$

Этап 2.4.3.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$u = 2$

Этап 2.4.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 u - 3) (u - 2) = 0$ верно.

$u = \frac{3}{2}, 2$

Этап 2.5

Подставим $\frac{3}{2}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$\frac{3}{2} = e^{x}$

Этап 2.6

Решим $\frac{3}{2} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = \frac{3}{2}$ .

$e^{x} = \frac{3}{2}$

Этап 2.6.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3}{2})$

Этап 2.6.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3}{2})$

Этап 2.6.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3}{2})$

Этап 2.6.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (\frac{3}{2})$

Этап 2.7

Подставим $2$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Этап 2.8

Решим $2 = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Этап 2.8.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Этап 2.8.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Этап 2.8.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Этап 2.8.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (2)$

Этап 2.9

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \ln (\frac{3}{2}), \ln (2)$

Этап 3