Основы мат. анализа Примеры

$g (x) = e^{x} + 12 e^{- x} - 7$

Этап 1

Приравняем $e^{x} + 12 e^{- x} - 7$ к $0$ .

$e^{x} + 12 e^{- x} - 7 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $e^{- x}$ в виде степенного выражения.

$e^{x} + 12 {(e^{x})}^{- 1} - 7 = 0$

Этап 2.2

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$u + 12 u^{- 1} - 7 = 0$

Этап 2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 12 (\frac{1}{u}) - 7 = 0$

Этап 2.3.2

Объединим $12$ и $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{12}{u} - 7 = 0$

Этап 2.4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u, 1, 1$

Этап 2.4.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 2.4.2

Каждый член в $u + \frac{12}{u} - 7 = 0$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим каждый член $u + \frac{12}{u} - 7 = 0$ на $u$ .

$u \cdot u + \frac{12}{u} u - 7 u = 0 u$

Этап 2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ .

$u^{2} + \frac{12}{u} u - 7 u = 0 u$

Этап 2.4.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$u^{2} + \frac{12}{u} u - 7 u = 0 u$

Этап 2.4.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$u^{2} + 12 - 7 u = 0 u$

Этап 2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Умножим $0$ на $u$ .

$u^{2} + 12 - 7 u = 0$

Этап 2.4.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Разложим $u^{2} + 12 - 7 u$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $- 7$ .

$- 4, - 3$

Этап 2.4.3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 4) (u - 3) = 0$

Этап 2.4.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 4 = 0$

$u - 3 = 0$

Этап 2.4.3.3

Приравняем $u - 4$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.1

Приравняем $u - 4$ к $0$ .

$u - 4 = 0$

Этап 2.4.3.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$u = 4$

Этап 2.4.3.4

Приравняем $u - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.4.1

Приравняем $u - 3$ к $0$ .

$u - 3 = 0$

Этап 2.4.3.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$u = 3$

Этап 2.4.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 4) (u - 3) = 0$ верно.

$u = 4, 3$

Этап 2.5

Подставим $4$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$4 = e^{x}$

Этап 2.6

Решим $4 = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 4$ .

$e^{x} = 4$

Этап 2.6.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (4)$

Этап 2.6.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (4)$

Этап 2.6.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (4)$

Этап 2.6.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (4)$

Этап 2.7

Подставим $3$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$3 = e^{x}$

Этап 2.8

Решим $3 = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 3$ .

$e^{x} = 3$

Этап 2.8.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Этап 2.8.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Этап 2.8.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Этап 2.8.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (3)$

Этап 2.9

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \ln (4), \ln (3)$

Этап 3