Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 8 x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + 16 x^{2} = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $16 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 = 0$

Этап 1.2.2.1.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x)$ .

$x^{2} (x^{2} - 8 x) + x^{2} \cdot 16 = 0$

Этап 1.2.2.1.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (x^{2} - 8 x) + x^{2} \cdot 16$ .

$x^{2} (x^{2} - 8 x + 16) = 0$

Этап 1.2.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 8 x + 4^{2}) = 0$

Этап 1.2.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Этап 1.2.2.2.3

Перепишем многочлен.

$x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 1.2.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 1.2.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 1.2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 1.2.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем ${(x - 4)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем ${(x - 4)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим ${(x - 4)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 1.2.5.2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, 4$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (4, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2}$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} - 8 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2}$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} - 8 \cdot 0^{3} + 16 {(0)}^{2}$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} - 8 \cdot 0^{3} + 16 \cdot 0^{2}$

Этап 2.2.4

Избавимся от скобок.

$y = {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2}$

Этап 2.2.5

Упростим ${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 8 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2}$

Этап 2.2.5.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0 + 16 {(0)}^{2}$

Этап 2.2.5.1.3

Умножим $- 8$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 16 {(0)}^{2}$

Этап 2.2.5.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 0 + 16 \cdot 0$

Этап 2.2.5.1.5

Умножим $16$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Этап 2.2.5.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0$

Этап 2.2.5.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (4, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 4