Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + x y + 2 y^{2} = 7$ , $x - 2 y = 5$

Этап 1

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$x = 5 + 2 y$

$x^{2} + x y + 2 y^{2} = 7$

Этап 2

Заменим все вхождения $x$ на $5 + 2 y$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $x$ в $x^{2} + x y + 2 y^{2} = 7$ на $5 + 2 y$ .

${(5 + 2 y)}^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${(5 + 2 y)}^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем ${(5 + 2 y)}^{2}$ в виде $(5 + 2 y) (5 + 2 y)$ .

$(5 + 2 y) (5 + 2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Этап 2.2.1.1.2

Развернем $(5 + 2 y) (5 + 2 y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (5 + 2 y) + 2 y (5 + 2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Этап 2.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \cdot 5 + 5 (2 y) + 2 y (5 + 2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Этап 2.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \cdot 5 + 5 (2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$5 \cdot 5 + 5 (2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Этап 2.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$25 + 5 (2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Этап 2.2.1.1.3.1.2

Умножим $2$ на $5$ .

$25 + 10 y + 2 y \cdot 5 + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Этап 2.2.1.1.3.1.3

Умножим $5$ на $2$ .

$25 + 10 y + 10 y + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Этап 2.2.1.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$25 + 10 y + 10 y + 2 \cdot (2 y \cdot y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Этап 2.2.1.1.3.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1.5.1

Перенесем $y$ .

$25 + 10 y + 10 y + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Этап 2.2.1.1.3.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$25 + 10 y + 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 10 y + 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Этап 2.2.1.1.3.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$25 + 10 y + 10 y + 4 y^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 10 y + 10 y + 4 y^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Этап 2.2.1.1.3.2

Добавим $10 y$ и $10 y$ .

$25 + 20 y + 4 y^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 20 y + 4 y^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Этап 2.2.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 y \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Этап 2.2.1.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1

Перенесем $y$ .

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 (y \cdot y) + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Этап 2.2.1.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 y^{2} + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 y^{2} + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 y^{2} + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Этап 2.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Добавим $20 y$ и $5 y$ .

$25 + 4 y^{2} + 25 y + 2 y^{2} + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Этап 2.2.1.2.2

Добавим $4 y^{2}$ и $2 y^{2}$ .

$25 + 6 y^{2} + 25 y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Этап 2.2.1.2.3

Добавим $6 y^{2}$ и $2 y^{2}$ .

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

Этап 3

Решим относительно $y$ в $25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$25 + 8 y^{2} + 25 y - 7 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Этап 3.2

Вычтем $7$ из $25$ .

$8 y^{2} + 25 y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Этап 3.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 8 \cdot 18 = 144$ , а сумма — $b = 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $25$ из $25 y$ .

$8 y^{2} + 25 (y) + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Этап 3.3.1.2

Запишем $25$ как $9$ плюс $16$

$8 y^{2} + (9 + 16) y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 y^{2} + 9 y + 16 y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

$8 y^{2} + 9 y + 16 y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Этап 3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(8 y^{2} + 9 y) + 16 y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Этап 3.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y (8 y + 9) + 2 (8 y + 9) = 0$

$x = 5 + 2 y$

$y (8 y + 9) + 2 (8 y + 9) = 0$

$x = 5 + 2 y$

Этап 3.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $8 y + 9$ .

$(8 y + 9) (y + 2) = 0$

$x = 5 + 2 y$

$(8 y + 9) (y + 2) = 0$

$x = 5 + 2 y$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$8 y + 9 = 0$

$y + 2 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Этап 3.5

Приравняем $8 y + 9$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $8 y + 9$ к $0$ .

$8 y + 9 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Этап 3.5.2

Решим $8 y + 9 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$8 y = - 9$

$x = 5 + 2 y$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $8 y = - 9$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $8 y = - 9$ на $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

Этап 3.5.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

Этап 3.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

Этап 3.6

Приравняем $y + 2$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $y + 2$ к $0$ .

$y + 2 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Этап 3.6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y = - 2$

$x = 5 + 2 y$

$y = - 2$

$x = 5 + 2 y$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(8 y + 9) (y + 2) = 0$ верно.

$y = - \frac{9}{8}, - 2$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}, - 2$

$x = 5 + 2 y$

Этап 4

Заменим все вхождения $y$ на $- \frac{9}{8}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 5 + 2 y$ на $- \frac{9}{8}$ .

$x = 5 + 2 (- \frac{9}{8})$

$y = - \frac{9}{8}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $5 + 2 (- \frac{9}{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{9}{8}$ в числитель.

$x = 5 + 2 (\frac{- 9}{8})$

$y = - \frac{9}{8}$

Этап 4.2.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$x = 5 + 2 (\frac{- 9}{2 (4)})$

$y = - \frac{9}{8}$

Этап 4.2.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$x = 5 + 2 (\frac{- 9}{2 \cdot 4})$

$y = - \frac{9}{8}$

Этап 4.2.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$x = 5 + \frac{- 9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + \frac{- 9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Этап 4.2.1.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = 5 - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Этап 4.2.1.2

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = 5 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Этап 4.2.1.3

Объединим $5$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{5 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Этап 4.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{5 \cdot 4 - 9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Этап 4.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Умножим $5$ на $4$ .

$x = \frac{20 - 9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Этап 4.2.1.5.2

Вычтем $9$ из $20$ .

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Этап 5

Заменим все вхождения $y$ на $- 2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 5 + 2 y$ на $- 2$ .

$x = 5 + 2 (- 2)$

$y = - 2$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $5 + 2 (- 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x = 5 - 4$

$y = - 2$

Этап 5.2.1.2

Вычтем $4$ из $5$ .

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

Этап 6

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(\frac{11}{4}, - \frac{9}{8})$

$(1, - 2)$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(\frac{11}{4}, - \frac{9}{8}), (1, - 2)$

Форма уравнения:

$x = \frac{11}{4}, y = - \frac{9}{8}$

$x = 1, y = - 2$

Этап 8