Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - 3 x^{2} + 15 x + 1$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Составим полный квадрат для $- 3 x^{2} + 15 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 3$

$b = 15$

$c = 1$

Этап 1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{15}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $15$ и $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$d = \frac{3 (5)}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{3 (5)}{3 (2 \cdot - 1)}$

Этап 1.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{3 \cdot 5}{3 (2 \cdot - 1)}$

Этап 1.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{5}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.1.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$d = \frac{5}{- 2}$

Этап 1.1.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{5}{2}$

Этап 1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{15^{2}}{4 \cdot - 3}$

Этап 1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Возведем $15$ в степень $2$ .

$e = 1 - \frac{225}{4 \cdot - 3}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 3$ .

$e = 1 - \frac{225}{- 12}$

Этап 1.1.4.2.1.3

Сократим общий множитель $225$ и $- 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $225$ .

$e = 1 - \frac{3 (75)}{- 12}$

Этап 1.1.4.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 12$ .

$e = 1 - \frac{3 \cdot 75}{3 \cdot - 4}$

Этап 1.1.4.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 1 - \frac{3 \cdot 75}{3 \cdot - 4}$

Этап 1.1.4.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 1 - \frac{75}{- 4}$

Этап 1.1.4.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = 1 - - \frac{75}{4}$

Этап 1.1.4.2.1.5

Умножим $- - \frac{75}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e = 1 + 1 (\frac{75}{4})$

Этап 1.1.4.2.1.5.2

Умножим $\frac{75}{4}$ на $1$ .

$e = 1 + \frac{75}{4}$

Этап 1.1.4.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$e = \frac{4}{4} + \frac{75}{4}$

Этап 1.1.4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{4 + 75}{4}$

Этап 1.1.4.2.4

Добавим $4$ и $75$ .

$e = \frac{79}{4}$

Этап 1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 3 {(x - \frac{5}{2})}^{2} + \frac{79}{4}$ .

$- 3 {(x - \frac{5}{2})}^{2} + \frac{79}{4}$

Этап 1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - 3 {(x - \frac{5}{2})}^{2} + \frac{79}{4}$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 3$

$h = \frac{5}{2}$

$k = \frac{79}{4}$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(\frac{5}{2}, \frac{79}{4})$

Этап 4