Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{p + 4} = \frac{p - 2}{p^{2} + 4 p} + \frac{3 p - 3}{2 p^{2} + 8 p}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $p$ из $p^{2} + 4 p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $p$ из $p^{2}$ .

$\frac{1}{p + 4} = \frac{p - 2}{p \cdot p + 4 p} + \frac{3 p - 3}{2 p^{2} + 8 p}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $p$ из $4 p$ .

$\frac{1}{p + 4} = \frac{p - 2}{p \cdot p + p \cdot 4} + \frac{3 p - 3}{2 p^{2} + 8 p}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $p$ из $p \cdot p + p \cdot 4$ .

$\frac{1}{p + 4} = \frac{p - 2}{p (p + 4)} + \frac{3 p - 3}{2 p^{2} + 8 p}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 p - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 p$ .

$\frac{1}{p + 4} = \frac{p - 2}{p (p + 4)} + \frac{3 (p) - 3}{2 p^{2} + 8 p}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{1}{p + 4} = \frac{p - 2}{p (p + 4)} + \frac{3 (p) + 3 (- 1)}{2 p^{2} + 8 p}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (p) + 3 (- 1)$ .

$\frac{1}{p + 4} = \frac{p - 2}{p (p + 4)} + \frac{3 (p - 1)}{2 p^{2} + 8 p}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $2 p$ из $2 p^{2} + 8 p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $2 p$ из $2 p^{2}$ .

$\frac{1}{p + 4} = \frac{p - 2}{p (p + 4)} + \frac{3 (p - 1)}{2 p (p) + 8 p}$

Этап 1.3.2

Вынесем множитель $2 p$ из $8 p$ .

$\frac{1}{p + 4} = \frac{p - 2}{p (p + 4)} + \frac{3 (p - 1)}{2 p (p) + 2 p (4)}$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $2 p$ из $2 p (p) + 2 p (4)$ .

$\frac{1}{p + 4} = \frac{p - 2}{p (p + 4)} + \frac{3 (p - 1)}{2 p (p + 4)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$p + 4, p (p + 4), 2 p (p + 4)$

Этап 2.2

Поскольку $p + 4, p (p + 4), 2 p (p + 4)$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $p + 4, p (p + 4), 2 p (p + 4)$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 2$ .

2. Найдем НОК для переменной части $p^{1}, p^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $p + 4, p + 4, p + 4$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 2.6

НОК $1, 1, 2$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 2.7

Множителем $p^{1}$ является само значение $p$ .

$p^{1} = p$

$p$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $p^{1}, p^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$p$

Этап 2.9

Множителем $p + 4$ является само значение $p + 4$ .

$(p + 4) = p + 4$

$(p + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.10

НОК $p + 4, p + 4, p + 4$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$p + 4$

Этап 2.11

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$2 p (p + 4)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{p + 4} = \frac{p - 2}{p (p + 4)} + \frac{3 (p - 1)}{2 p (p + 4)}$ умножим на $2 p (p + 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{p + 4} = \frac{p - 2}{p (p + 4)} + \frac{3 (p - 1)}{2 p (p + 4)}$ на $2 p (p + 4)$ .

$\frac{1}{p + 4} (2 p (p + 4)) = \frac{p - 2}{p (p + 4)} (2 p (p + 4)) + \frac{3 (p - 1)}{2 p (p + 4)} (2 p (p + 4))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{1}{p + 4} (p (p + 4)) = \frac{p - 2}{p (p + 4)} (2 p (p + 4)) + \frac{3 (p - 1)}{2 p (p + 4)} (2 p (p + 4))$

Этап 3.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{p + 4}$ .

$\frac{2}{p + 4} (p (p + 4)) = \frac{p - 2}{p (p + 4)} (2 p (p + 4)) + \frac{3 (p - 1)}{2 p (p + 4)} (2 p (p + 4))$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $p + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем множитель $p + 4$ из $p (p + 4)$ .

$\frac{2}{p + 4} ((p + 4) p) = \frac{p - 2}{p (p + 4)} (2 p (p + 4)) + \frac{3 (p - 1)}{2 p (p + 4)} (2 p (p + 4))$

Этап 3.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{p + 4} ((p + 4) p) = \frac{p - 2}{p (p + 4)} (2 p (p + 4)) + \frac{3 (p - 1)}{2 p (p + 4)} (2 p (p + 4))$

Этап 3.2.3.3

Перепишем это выражение.

$2 p = \frac{p - 2}{p (p + 4)} (2 p (p + 4)) + \frac{3 (p - 1)}{2 p (p + 4)} (2 p (p + 4))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 p = 2 \frac{p - 2}{p (p + 4)} (p (p + 4)) + \frac{3 (p - 1)}{2 p (p + 4)} (2 p (p + 4))$

Этап 3.3.1.2

Объединим $2$ и $\frac{p - 2}{p (p + 4)}$ .

$2 p = \frac{2 (p - 2)}{p (p + 4)} (p (p + 4)) + \frac{3 (p - 1)}{2 p (p + 4)} (2 p (p + 4))$

Этап 3.3.1.3

Сократим общий множитель $p (p + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$2 p = \frac{2 (p - 2)}{p (p + 4)} (p (p + 4)) + \frac{3 (p - 1)}{2 p (p + 4)} (2 p (p + 4))$

Этап 3.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$2 p = 2 (p - 2) + \frac{3 (p - 1)}{2 p (p + 4)} (2 p (p + 4))$

Этап 3.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 p = 2 p + 2 \cdot - 2 + \frac{3 (p - 1)}{2 p (p + 4)} (2 p (p + 4))$

Этап 3.3.1.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$2 p = 2 p - 4 + \frac{3 (p - 1)}{2 p (p + 4)} (2 p (p + 4))$

Этап 3.3.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 p = 2 p - 4 + 2 \frac{3 (p - 1)}{2 p (p + 4)} (p (p + 4))$

Этап 3.3.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 p (p + 4)$ .

$2 p = 2 p - 4 + 2 \frac{3 (p - 1)}{2 (p (p + 4))} (p (p + 4))$

Этап 3.3.1.7.2

Сократим общий множитель.

$2 p = 2 p - 4 + 2 \frac{3 (p - 1)}{2 (p (p + 4))} (p (p + 4))$

Этап 3.3.1.7.3

Перепишем это выражение.

$2 p = 2 p - 4 + \frac{3 (p - 1)}{p (p + 4)} (p (p + 4))$

Этап 3.3.1.8

Сократим общий множитель $p (p + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.8.1

Сократим общий множитель.

$2 p = 2 p - 4 + \frac{3 (p - 1)}{p (p + 4)} (p (p + 4))$

Этап 3.3.1.8.2

Перепишем это выражение.

$2 p = 2 p - 4 + 3 (p - 1)$

Этап 3.3.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$2 p = 2 p - 4 + 3 p + 3 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.10

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 p = 2 p - 4 + 3 p - 3$

Этап 3.3.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $2 p$ и $3 p$ .

$2 p = 5 p - 4 - 3$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $3$ из $- 4$ .

$2 p = 5 p - 7$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $p$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $5 p$ из обеих частей уравнения.

$2 p - 5 p = - 7$

Этап 4.1.2

Вычтем $5 p$ из $2 p$ .

$- 3 p = - 7$

Этап 4.2

Разделим каждый член $- 3 p = - 7$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $- 3 p = - 7$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 p}{- 3} = \frac{- 7}{- 3}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 p}{- 3} = \frac{- 7}{- 3}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $p$ на $1$ .

$p = \frac{- 7}{- 3}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$p = \frac{7}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$p = \frac{7}{3}$

Десятичная форма:

$p = 2.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$p = 2 \frac{1}{3}$