Основы мат. анализа Примеры

$\log_{2} (y - 7) = 3 + \log_{2} (3 y + 1)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log_{2} (y - 7) - \log_{2} (3 y + 1) = 3$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{y - 7}{3 y + 1}) = 3$

Этап 3

Перепишем $\log_{2} (\frac{y - 7}{3 y + 1}) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{3} = \frac{y - 7}{3 y + 1}$

Этап 4

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$y - 7 = 2^{3} (3 y + 1)$

Этап 5

Упростим $2^{3} (3 y + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$y - 7 = 8 (3 y + 1)$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 7 = 8 (3 y) + 8 \cdot 1$

Этап 5.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $3$ на $8$ .

$y - 7 = 24 y + 8 \cdot 1$

Этап 5.3.2

Умножим $8$ на $1$ .

$y - 7 = 24 y + 8$

Этап 6

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $24 y$ из обеих частей уравнения.

$y - 7 - 24 y = 8$

Этап 6.2

Вычтем $24 y$ из $y$ .

$- 23 y - 7 = 8$

Этап 7

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$- 23 y = 8 + 7$

Этап 7.2

Добавим $8$ и $7$ .

$- 23 y = 15$

Этап 8

Разделим каждый член $- 23 y = 15$ на $- 23$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $- 23 y = 15$ на $- 23$ .

$\frac{- 23 y}{- 23} = \frac{15}{- 23}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $- 23$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 23 y}{- 23} = \frac{15}{- 23}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{15}{- 23}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{15}{23}$

Этап 9

Исключим решения, которые не делают $\log_{2} (y - 7) = 3 + \log_{2} (3 y + 1)$ истинным.

$Нет решения$