Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{2} - 16 y^{2} - 16 x - 128 y - 304 = 0$

Этап 1

Добавим $304$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} - 16 y^{2} - 16 x - 128 y = 304$

Этап 2

Составим полный квадрат для $4 x^{2} - 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

Этап 2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

Этап 2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 8}{4}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Этап 2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

Этап 2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 2.3.2.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Возведем $- 16$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Этап 2.4.2.1.3

Разделим $256$ на $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Этап 2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $16$ .

$e = 0 - 16$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$e = - 16$

Этап 2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$

Этап 3

Подставим $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ вместо $4 x^{2} - 16 x$ в уравнение $4 x^{2} - 16 y^{2} - 16 x - 128 y = 304$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 - 16 y^{2} - 128 y = 304$

Этап 4

Перенесем $- 16$ в правую часть уравнения, прибавив $16$ к обеим частям.

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 y^{2} - 128 y = 304 + 16$

Этап 5

Составим полный квадрат для $- 16 y^{2} - 128 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 16$

$b = - 128$

$c = 0$

Этап 5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 128}{2 \cdot - 16}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 128$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 128$ .

$d = \frac{2 \cdot - 64}{2 \cdot - 16}$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 64}{2 (- 16)}$

Этап 5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 64}{2 \cdot - 16}$

Этап 5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 64}{- 16}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $- 64$ и $- 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $- 16$ из $- 64$ .

$d = \frac{- 16 (4)}{- 16}$

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $- 16$ из $- 16$ .

$d = \frac{- 16 \cdot 4}{- 16 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{- 16 \cdot 4}{- 16 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{1}$

Этап 5.3.2.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$d = 4$

Этап 5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 128)}^{2}}{4 \cdot - 16}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Возведем $- 128$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{16384}{4 \cdot - 16}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 16$ .

$e = 0 - \frac{16384}{- 64}$

Этап 5.4.2.1.3

Разделим $16384$ на $- 64$ .

$e = 0 - - 256$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 256$ .

$e = 0 + 256$

Этап 5.4.2.2

Добавим $0$ и $256$ .

$e = 256$

Этап 5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 16 {(y + 4)}^{2} + 256$ .

$- 16 {(y + 4)}^{2} + 256$

Этап 6

Подставим $- 16 {(y + 4)}^{2} + 256$ вместо $- 16 y^{2} - 128 y$ в уравнение $4 x^{2} - 16 y^{2} - 16 x - 128 y = 304$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 {(y + 4)}^{2} + 256 = 304 + 16$

Этап 7

Перенесем $256$ в правую часть уравнения, прибавив $256$ к обеим частям.

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 {(y + 4)}^{2} = 304 + 16 - 256$

Этап 8

Упростим $304 + 16 - 256$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $304$ и $16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 {(y + 4)}^{2} = 320 - 256$

Этап 8.2

Вычтем $256$ из $320$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 {(y + 4)}^{2} = 64$

Этап 9

Разделим каждый член на $64$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{64} - \frac{16 {(y + 4)}^{2}}{64} = \frac{64}{64}$

Этап 10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 4)}^{2}}{4} = 1$