Основы мат. анализа Примеры

$16 y^{2} - x^{2} + 2 x + 64 y + 63 = 0$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2

Подставим значения $a = 16$ , $b = 64$ и $c = - x^{2} + 2 x + 63$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 64 \pm \sqrt{64^{2} - 4 \cdot (16 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63))}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведем $64$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 4 \cdot 16 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- 4$ на $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 (- x^{2}) - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.3.1.4.2

Умножим $2$ на $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.3.1.4.3

Умножим $- 64$ на $63$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 4032}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.3.1.5

Вычтем $4032$ из $4096$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 x^{2} - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.3.1.6

Перепишем $64 x^{2} - 128 x + 64$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.6.1

Вынесем множитель $64$ из $64 x^{2} - 128 x + 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.6.1.1

Вынесем множитель $64$ из $64 x^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.3.1.6.1.2

Вынесем множитель $64$ из $- 128 x$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.3.1.6.1.3

Вынесем множитель $64$ из $64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.3.1.6.1.4

Вынесем множитель $64$ из $64 (x^{2}) + 64 (- 2 x)$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.3.1.6.1.5

Вынесем множитель $64$ из $64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1)}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.3.1.6.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.6.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.3.1.6.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 1.3.1.6.2.3

Перепишем многочлен.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.3.1.6.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.3.1.7

Перепишем $64 {(x - 1)}^{2}$ в виде ${(8 (x - 1))}^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{{(8 (x - 1))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \frac{- 64 \pm 8 (x - 1)}{2 \cdot 16}$

Этап 1.3.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 64 \pm (8 x + 8 \cdot - 1)}{2 \cdot 16}$

Этап 1.3.1.10

Умножим $8$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{2 \cdot 16}$

Этап 1.3.2

Умножим $2$ на $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{32}$

Этап 1.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Возведем $64$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 4 \cdot 16 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.4.1.2

Умножим $- 4$ на $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 (- x^{2}) - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.4.1.4.2

Умножим $2$ на $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.4.1.4.3

Умножим $- 64$ на $63$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 4032}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.4.1.5

Вычтем $4032$ из $4096$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 x^{2} - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.4.1.6

Перепишем $64 x^{2} - 128 x + 64$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.6.1

Вынесем множитель $64$ из $64 x^{2} - 128 x + 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.6.1.1

Вынесем множитель $64$ из $64 x^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.4.1.6.1.2

Вынесем множитель $64$ из $- 128 x$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.4.1.6.1.3

Вынесем множитель $64$ из $64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.4.1.6.1.4

Вынесем множитель $64$ из $64 (x^{2}) + 64 (- 2 x)$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.4.1.6.1.5

Вынесем множитель $64$ из $64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1)}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.4.1.6.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.6.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.4.1.6.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 1.4.1.6.2.3

Перепишем многочлен.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.4.1.6.2.4

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.4.1.7

Перепишем $64 {(x - 1)}^{2}$ в виде ${(8 (x - 1))}^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{{(8 (x - 1))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \frac{- 64 \pm 8 (x - 1)}{2 \cdot 16}$

Этап 1.4.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 64 \pm (8 x + 8 \cdot - 1)}{2 \cdot 16}$

Этап 1.4.1.10

Умножим $8$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{2 \cdot 16}$

Этап 1.4.2

Умножим $2$ на $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{32}$

Этап 1.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{- 64 + 8 x - 8}{32}$

Этап 1.4.4

Сократим общий множитель $- 64 + 8 x - 8$ и $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Вынесем множитель $8$ из $- 64$ .

$y = \frac{8 (- 8) + 8 x - 8}{32}$

Этап 1.4.4.2

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$y = \frac{8 (- 8) + 8 (x) - 8}{32}$

Этап 1.4.4.3

Вынесем множитель $8$ из $- 8$ .

$y = \frac{8 \cdot - 8 + 8 (x) + 8 \cdot - 1}{32}$

Этап 1.4.4.4

Вынесем множитель $8$ из $8 (x) + 8 (- 1)$ .

$y = \frac{8 (- 8) + 8 (x - 1)}{32}$

Этап 1.4.4.5

Вынесем множитель $8$ из $8 (- 8) + 8 (x - 1)$ .

$y = \frac{8 (- 8 + x - 1)}{32}$

Этап 1.4.4.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.6.1

Вынесем множитель $8$ из $32$ .

$y = \frac{8 (- 8 + x - 1)}{8 \cdot 4}$

Этап 1.4.4.6.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{8 (- 8 + x - 1)}{8 \cdot 4}$

Этап 1.4.4.6.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{- 8 + x - 1}{4}$

Этап 1.4.5

Вычтем $1$ из $- 8$ .

$y = \frac{x - 9}{4}$

Этап 1.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Возведем $64$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 4 \cdot 16 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.5.1.2

Умножим $- 4$ на $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 (- x^{2}) - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.5.1.4.2

Умножим $2$ на $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.5.1.4.3

Умножим $- 64$ на $63$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 4032}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.5.1.5

Вычтем $4032$ из $4096$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 x^{2} - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.5.1.6

Перепишем $64 x^{2} - 128 x + 64$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.6.1

Вынесем множитель $64$ из $64 x^{2} - 128 x + 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.6.1.1

Вынесем множитель $64$ из $64 x^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.5.1.6.1.2

Вынесем множитель $64$ из $- 128 x$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.5.1.6.1.3

Вынесем множитель $64$ из $64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.5.1.6.1.4

Вынесем множитель $64$ из $64 (x^{2}) + 64 (- 2 x)$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.5.1.6.1.5

Вынесем множитель $64$ из $64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1)}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.5.1.6.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.6.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.5.1.6.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 1.5.1.6.2.3

Перепишем многочлен.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.5.1.6.2.4

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.5.1.7

Перепишем $64 {(x - 1)}^{2}$ в виде ${(8 (x - 1))}^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{{(8 (x - 1))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Этап 1.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \frac{- 64 \pm 8 (x - 1)}{2 \cdot 16}$

Этап 1.5.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 64 \pm (8 x + 8 \cdot - 1)}{2 \cdot 16}$

Этап 1.5.1.10

Умножим $8$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{2 \cdot 16}$

Этап 1.5.2

Умножим $2$ на $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{32}$

Этап 1.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{- 64 - (8 x - 8)}{32}$

Этап 1.5.4

Сократим общий множитель $- 64 - (8 x - 8)$ и $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Перепишем $- 64$ в виде $- 1 (64)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 64 - (8 x - 8)}{32}$

Этап 1.5.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (64) - (8 x - 8)$ .

$y = \frac{- 1 (64 + 8 x - 8)}{32}$

Этап 1.5.4.3

Вынесем множитель $8$ из $- 1 (64 + 8 x - 8)$ .

$y = \frac{8 (- 1 (8 + x - 1))}{32}$

Этап 1.5.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.4.1

Вынесем множитель $8$ из $32$ .

$y = \frac{8 (- 1 (8 + x - 1))}{8 (4)}$

Этап 1.5.4.4.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{8 (- 1 (8 + x - 1))}{8 \cdot 4}$

Этап 1.5.4.4.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{- 1 (8 + x - 1)}{4}$

Этап 1.5.5

Вычтем $1$ из $8$ .

$y = \frac{- 1 (x + 7)}{4}$

Этап 1.5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x + 7}{4}$

Этап 1.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{x - 9}{4}$

$y = - \frac{x + 7}{4}$

$y = \frac{x - 9}{4}$

$y = - \frac{x + 7}{4}$

Этап 2

Чтобы записать многочлен в стандартной форме, упростим его, а затем расположим члены в порядке убывания.

$y = a x^{2} + b x + c$

Этап 3

Разобьем дробь $\frac{x - 9}{4}$ на две дроби.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 9}{4}$

$y = - \frac{x + 7}{4}$

Этап 4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{x + 7}{4}$

Этап 5

Разобьем дробь $\frac{x + 7}{4}$ на две дроби.

$y = \frac{x}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})$

Этап 6

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{x}{4} - \frac{7}{4}$

Этап 7

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{4} x - \frac{9}{4}$

$y = - (\frac{1}{4} x) - \frac{7}{4}$

Этап 8

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{4} x - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{1}{4} x - \frac{7}{4}$

Этап 9