Основы мат. анализа Примеры

$y^{2} + 6 y + 9 = 12 - 12 x$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} + 6 y + 9 - 12 = - 12 x$

Этап 1.1.1.2

Добавим $12 x$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} + 6 y + 9 - 12 + 12 x = 0$

Этап 1.1.2

Вычтем $12$ из $9$ .

$y^{2} + 6 y - 3 + 12 x = 0$

Этап 1.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = 6$ и $c = - 3 + 12 x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 3 + 12 x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 + 12 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 3 + 12 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 - 4 (12 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.4

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 - 4 (12 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.5

Умножим $12$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 - 48 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.6

Добавим $36$ и $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{48 - 48 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.7

Вынесем множитель $48$ из $48 - 48 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.7.1

Вынесем множитель $48$ из $48$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{48 (1) - 48 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.7.2

Вынесем множитель $48$ из $- 48 x$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{48 (1) + 48 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.7.3

Вынесем множитель $48$ из $48 (1) + 48 (- x)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{48 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.8

Перепишем $48 (1 - x)$ в виде ${(2^{2})}^{2} \cdot (3 (1 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.8.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (3) (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.8.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (3 (1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.8.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.8.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 6 \pm 2^{2} \sqrt{3 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3 (1 - x)}}{2}$

Этап 1.4.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3 (1 - x)}}{2}$ .

$y = - 3 \pm 2 \sqrt{3 (1 - x)}$

Этап 1.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 + 12 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 3 + 12 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 - 4 (12 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.4

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 - 4 (12 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.5

Умножим $12$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 - 48 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.6

Добавим $36$ и $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{48 - 48 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.7

Вынесем множитель $48$ из $48 - 48 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.7.1

Вынесем множитель $48$ из $48$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{48 (1) - 48 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.7.2

Вынесем множитель $48$ из $- 48 x$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{48 (1) + 48 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.7.3

Вынесем множитель $48$ из $48 (1) + 48 (- x)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{48 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.8

Перепишем $48 (1 - x)$ в виде ${(2^{2})}^{2} \cdot (3 (1 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.8.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (3) (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.8.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (3 (1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.8.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.8.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 6 \pm 2^{2} \sqrt{3 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3 (1 - x)}}{2}$

Этап 1.5.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3 (1 - x)}}{2}$ .

$y = - 3 \pm 2 \sqrt{3 (1 - x)}$

Этап 1.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = - 3 + 2 \sqrt{3 (1 - x)}$

Этап 1.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 + 12 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 3 + 12 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 - 4 (12 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.4

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 - 4 (12 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.5

Умножим $12$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 - 48 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.6

Добавим $36$ и $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{48 - 48 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.7

Вынесем множитель $48$ из $48 - 48 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.7.1

Вынесем множитель $48$ из $48$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{48 (1) - 48 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.7.2

Вынесем множитель $48$ из $- 48 x$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{48 (1) + 48 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.7.3

Вынесем множитель $48$ из $48 (1) + 48 (- x)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{48 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.8

Перепишем $48 (1 - x)$ в виде ${(2^{2})}^{2} \cdot (3 (1 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.8.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (3) (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.8.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (3 (1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.8.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.8.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 (1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 6 \pm 2^{2} \sqrt{3 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3 (1 - x)}}{2}$

Этап 1.6.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3 (1 - x)}}{2}$ .

$y = - 3 \pm 2 \sqrt{3 (1 - x)}$

Этап 1.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = - 3 - 2 \sqrt{3 (1 - x)}$

Этап 1.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - 3 + 2 \sqrt{3 (1 - x)}$

$y = - 3 - 2 \sqrt{3 (1 - x)}$

$y = - 3 + 2 \sqrt{3 (1 - x)}$

$y = - 3 - 2 \sqrt{3 (1 - x)}$

Этап 2

Чтобы записать многочлен в стандартной форме, упростим его, а затем расположим члены в порядке убывания.

$y = a x^{2} + b x + c$

Этап 3

Стандартная форма: $- 3 + 2 \sqrt{3 (1 - x)}, - 3 - 2 \sqrt{3 (1 - x)}$ .

$y = - 3 + 2 \sqrt{3 (1 - x)}$

$y = - 3 - 2 \sqrt{3 (1 - x)}$

Этап 4