Основы мат. анализа Примеры

$(x^{2} + 1) (x + 5) (x - 3) \leq 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 2

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.2

Решим $x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 2.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 2.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 2.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 2.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 2.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 3

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 3.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 1) (x + 5) (x - 3) \leq 0$ верно.

$x = i, - i, - 5, 3$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < 3$

$x > 3$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$({(- 8)}^{2} + 1) ((- 8) + 5) ((- 8) - 3) \leq 0$

Этап 7.1.3

Левая часть $2145$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$({(0)}^{2} + 1) ((0) + 5) ((0) - 3) \leq 0$

Этап 7.2.3

Левая часть $- 15$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$({(6)}^{2} + 1) ((6) + 5) ((6) - 3) \leq 0$

Этап 7.3.3

Левая часть $1221$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 5 \leq x \leq 3$

Этап 9

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$[- 5, 3]$

Этап 10