Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 5 x + 6} < 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} - 4 = 0$

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Этап 2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 4$

Этап 3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 4

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 6

Разложим $x^{2} - 5 x + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $- 5$ .

$- 3, - 2$

Этап 6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x - 2) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 8

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 8.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 9

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 9.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 10

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 3, 2$

Этап 11

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 2, - 2$

$x = 3, 2$

Этап 12

Объединим решения.

$x = 2, - 2, 3, 2$

Этап 13

Найдем область определения $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 5 x + 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 5 x + 6}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Этап 13.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Разложим $x^{2} - 5 x + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

$- 3, - 2$

Этап 13.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x - 2) = 0$

Этап 13.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 13.2.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 13.2.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 13.2.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 13.2.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 13.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 3, 2$

Этап 13.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 14

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Этап 15

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 15.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 4)}^{2} - 4}{{(- 4)}^{2} - 5 \cdot - 4 + 6} < 0$

Этап 15.1.3

Левая часть $0.\overline{285714}$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 15.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 15.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(0)}^{2} - 4}{{(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 6} < 0$

Этап 15.2.3

Левая часть $- 0.\overline{6}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 15.3

Проверим значение на интервале $2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2.5$

Этап 15.3.2

Заменим $x$ на $2.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(2.5)}^{2} - 4}{{(2.5)}^{2} - 5 \cdot 2.5 + 6} < 0$

Этап 15.3.3

Левая часть $- 9$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 15.4

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 15.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(6)}^{2} - 4}{{(6)}^{2} - 5 \cdot 6 + 6} < 0$

Этап 15.4.3

Левая часть $2.\overline{6}$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 15.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 2$ Истина

$2 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 2$ Истина

$2 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 16

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 2 < x < 2$ или $2 < x < 3$

Этап 17

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 2, 2) \cup (2, 3)$

Этап 18