Основы мат. анализа Примеры

$| 2 x + 1 | + 1 \leq 8$

Этап 1

Запишем $| 2 x + 1 | + 1 \leq 8$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$2 x + 1 \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$2 x \geq - 1$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $2 x \geq - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $2 x \geq - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 1}{2}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 1}{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 1}{2}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x \geq - \frac{1}{2}$

Этап 1.3

В части, где $2 x + 1$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$2 x + 1 + 1 \leq 8$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$2 x + 1 < 0$

Этап 1.5

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$2 x < - 1$

Этап 1.5.2

Разделим каждый член $2 x < - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Разделим каждый член $2 x < - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{- 1}{2}$

Этап 1.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} < \frac{- 1}{2}$

Этап 1.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{- 1}{2}$

Этап 1.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x < - \frac{1}{2}$

Этап 1.6

В части, где $2 x + 1$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (2 x + 1) + 1 \leq 8$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} 2 x + 1 + 1 \leq 8 & x \geq - \frac{1}{2} \\ - (2 x + 1) + 1 \leq 8 & x < - \frac{1}{2} \end{cases}$

Этап 1.8

Добавим $1$ и $1$ .

${\begin{cases} 2 x + 2 \leq 8 & x \geq - \frac{1}{2} \\ - (2 x + 1) + 1 \leq 8 & x < - \frac{1}{2} \end{cases}$

Этап 1.9

Упростим $- (2 x + 1) + 1 \leq 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} 2 x + 2 \leq 8 & x \geq - \frac{1}{2} \\ - (2 x) - 1 \cdot 1 + 1 \leq 8 & x < - \frac{1}{2} \end{cases}$

Этап 1.9.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

${\begin{cases} 2 x + 2 \leq 8 & x \geq - \frac{1}{2} \\ - 2 x - 1 \cdot 1 + 1 \leq 8 & x < - \frac{1}{2} \end{cases}$

Этап 1.9.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

${\begin{cases} 2 x + 2 \leq 8 & x \geq - \frac{1}{2} \\ - 2 x - 1 + 1 \leq 8 & x < - \frac{1}{2} \end{cases}$

Этап 1.9.2

Объединим противоположные члены в $- 2 x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

${\begin{cases} 2 x + 2 \leq 8 & x \geq - \frac{1}{2} \\ - 2 x + 0 \leq 8 & x < - \frac{1}{2} \end{cases}$

Этап 1.9.2.2

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

${\begin{cases} 2 x + 2 \leq 8 & x \geq - \frac{1}{2} \\ - 2 x \leq 8 & x < - \frac{1}{2} \end{cases}$

Этап 2

Решим $2 x + 2 \leq 8$ , когда $x \geq - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим $2 x + 2 \leq 8$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$2 x \leq 8 - 2$

Этап 2.1.1.2

Вычтем $2$ из $8$ .

$2 x \leq 6$

Этап 2.1.2

Разделим каждый член $2 x \leq 6$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разделим каждый член $2 x \leq 6$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{6}{2}$

Этап 2.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{6}{2}$

Этап 2.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{6}{2}$

Этап 2.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Разделим $6$ на $2$ .

$x \leq 3$

Этап 2.2

Найдем пересечение $x \leq 3$ и $x \geq - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \leq x \leq 3$

Этап 3

Решим $- 2 x \leq 8$ , когда $x < - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- 2 x \leq 8$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- 2 x \leq 8$ на $- 2$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 2 x}{- 2} \geq \frac{8}{- 2}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} \geq \frac{8}{- 2}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{8}{- 2}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разделим $8$ на $- 2$ .

$x \geq - 4$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x \geq - 4$ и $x < - \frac{1}{2}$ .

$- 4 \leq x < - \frac{1}{2}$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$- 4 \leq x \leq 3$

Этап 5

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$[- 4, 3]$

Этап 6