Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x}{(x + 4) (x - 2)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x + 4}$

Этап 1.2

$\frac{A}{x + 4} + \frac{B}{x - 2}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x + 4) (x - 2)$ .

$\frac{x (x + 4) (x - 2)}{(x + 4) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 4) (x - 2)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x + 4) (x - 2)}{(x + 4) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 4) (x - 2)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 4) (x - 2)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 4) (x - 2)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{(A) (x + 4) (x - 2)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{A (x + 4) (x - 2)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.6.1.2

Разделим $(A) (x - 2)$ на $1$ .

$x = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 4) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 4) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.6.3

Перенесем $- 2$ влево от $A$ .

$x = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 4) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.6.4

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 4) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.6.4.2

Разделим $(B) (x + 4)$ на $1$ .

$x = A x - 2 A + (B) (x + 4)$

Этап 1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x = A x - 2 A + B x + B \cdot 4$

Этап 1.6.6

Перенесем $4$ влево от $B$ .

$x = A x - 2 A + B x + 4 B$

Этап 1.7

Перенесем $- 2 A$ .

$x = A x + B x - 2 A + 4 B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 2 A + 4 B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$0 = - 2 A + 4 B$

$1 = A + B$

$0 = - 2 A + 4 B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 2 A + 4 B$

Этап 3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - B$

$0 = - 2 A + 4 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 2 A + 4 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = - 2 A + 4 B$ на $1 - B$ .

$0 = - 2 (1 - B) + 4 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $- 2 (1 - B) + 4 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = - 2 \cdot 1 - 2 (- B) + 4 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2.1.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$0 = - 2 - 2 (- B) + 4 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$0 = - 2 + 2 B + 4 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 2 + 2 B + 4 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $2 B$ и $4 B$ .

$0 = - 2 + 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 2 + 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 2 + 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 2 + 6 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - 2 + 6 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 + 6 B = 0$ .

$- 2 + 6 B = 0$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$6 B = 2$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $6 B = 2$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $6 B = 2$ на $6$ .

$\frac{6 B}{6} = \frac{2}{6}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 B}{6} = \frac{2}{6}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{2}{6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{6}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$B = \frac{2 (1)}{6}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$B = \frac{1}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{3}$

$A = 1 - B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{1}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - B$ на $\frac{1}{3}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{3})$

$B = \frac{1}{3}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $1 - (\frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{3}$

Этап 3.4.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{3 - 1}{3}$

$B = \frac{1}{3}$

Этап 3.4.2.1.3

Вычтем $1$ из $3$ .

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{1}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{1}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{1}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{1}{3}$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{2}{3}, B = \frac{1}{3}$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x + 4} + \frac{B}{x - 2}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x + 4} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 2}$