Основы мат. анализа Примеры

$y = 3 - 4 x$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 3 - 4 y$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $3 - 4 y = x$ .

$3 - 4 y = x$

Этап 2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 4 y = x - 3$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- 4 y = x - 3$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- 4 y = x - 3$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 3}{- 4}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 3}{- 4}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{- 4} + \frac{- 3}{- 4}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{- 3}{- 4}$

Этап 2.3.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$ обратной к $f (x) = 3 - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (3 - 4 x)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 - 4 x) = - \frac{3 - 4 x}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (3 - 4 x) = \frac{- (3 - 4 x) + 3}{4}$

Этап 4.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (3 - 4 x) = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 4 x) + 3}{4}$

Этап 4.2.4.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f^{- 1} (3 - 4 x) = \frac{- 3 - (- 4 x) + 3}{4}$

Этап 4.2.4.3

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (3 - 4 x) = \frac{- 3 + 4 x + 3}{4}$

Этап 4.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Объединим противоположные члены в $- 3 + 4 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f^{- 1} (3 - 4 x) = \frac{4 x + 0}{4}$

Этап 4.2.5.1.2

Добавим $4 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (3 - 4 x) = \frac{4 x}{4}$

Этап 4.2.5.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3 - 4 x) = \frac{4 x}{4}$

Этап 4.2.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (3 - 4 x) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 - 4 (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4})$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 - 4 (- \frac{x}{4}) - 4 (\frac{3}{4})$

Этап 4.3.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{4}$ в числитель.

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 - 4 \frac{- x}{4} - 4 (\frac{3}{4})$

Этап 4.3.3.2.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + 4 (- 1) (\frac{- x}{4}) - 4 (\frac{3}{4})$

Этап 4.3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + 4 \cdot (- 1 \frac{- x}{4}) - 4 (\frac{3}{4})$

Этап 4.3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 - 1 (- x) - 4 (\frac{3}{4})$

Этап 4.3.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + 1 x - 4 (\frac{3}{4})$

Этап 4.3.3.4

Умножим $x$ на $1$ .

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + x - 4 (\frac{3}{4})$

Этап 4.3.3.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + x + 4 (- 1) (\frac{3}{4})$

Этап 4.3.3.5.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + x + 4 \cdot (- 1 (\frac{3}{4}))$

Этап 4.3.3.5.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + x - 1 \cdot 3$

Этап 4.3.3.6

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = 3 + x - 3$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $3 + x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = x + 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{4}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$ — обратная к $f (x) = 3 - 4 x$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$